哈塞-韦伊ζ函数 1. 背景与动机 在数论中，ζ函数是研究整数分布的核心工具。经典的黎曼ζ函数 \[ \zeta(s) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \quad (\Re(s)>1) \] 通过解析延拓揭示了素数的分布规律。20世纪初，数学家开始研究代数簇（由多项式方程定义的几何对象）的ζ函数，试图将数论与几何联系起来。哈塞-韦伊ζ函数是定义在代数簇上的ζ函数，是黎曼ζ函数在几何上的推广。 2. 有限域上的代数簇与ζ函数 先考虑最简单的情形：有限域 \(\mathbb{F} q\)（\(q\) 为素数幂）上的代数簇 \(V\)。定义其ζ函数为： \[ Z(V, T) = \exp\left( \sum {r=1}^{\infty} \frac{N_ r}{r} T^r \right), \] 其中 \(N_ r\) 是 \(V\) 在 \(\mathbb{F}_ {q^r}\) 上的有理点个数。通过变量替换 \(T = q^{-s}\)，得到哈塞-韦伊ζ函数： \[ \zeta(V, s) = Z(V, q^{-s}). \] 例子 ：若 \(V\) 是单点（平凡代数簇），则 \(N_ r = 1\)，可算出 \[ Z(V, T) = \frac{1}{1-T} \quad \Rightarrow \quad \zeta(V, s) = \frac{1}{1-q^{-s}}. \] 这正是黎曼ζ函数中与素数 \(p\) 对应的局部因子 \((1-p^{-s})^{-1}\) 的有限域类比。 3. 哈塞-韦伊猜想的提出 对于更复杂的代数簇（如椭圆曲线、高维簇），哈塞-韦伊猜想包含以下核心内容： 有理性 ：\(Z(V, T)\) 是 \(T\) 的有理函数（戴德金证明对于一般代数簇成立）。 函数方程 ：\(\zeta(V, s)\) 满足特定的对称函数方程，反映代数簇的庞加莱对偶。 黎曼假设 ：\(\zeta(V, s)\) 的零点实部为 \(\frac{1}{2}\)（仅限于有限域情形，即韦伊猜想）。 4. 椭圆曲线的例子 设 \(E\) 是 \(\mathbb{F}_ q\) 上的一条椭圆曲线，其ζ函数可写为： \[ Z(E, T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1-T)(1-qT)}, \] 其中 \(a = q + 1 - N_ 1\)（\(N_ 1\) 是 \(\mathbb{F}_ q\) 上的有理点数）。哈塞证明 \(|a| \leq 2\sqrt{q}\)，这等价于ζ函数的零点实部为 \(\frac{1}{2}\)（即有限域上的黎曼假设）。 5. 全局ζ函数与算术几何 对于定义在数域 \(K\)（如 \(\mathbb{Q}\)）上的代数簇 \(V\)，其哈塞-韦伊ζ函数通过局部因子定义： \[ \zeta(V, s) = \prod_ {p} \zeta(V_ p, s), \] 其中 \(V_ p\) 是 \(V\) 在素数 \(p\) 处的约化（需考虑良好约化的素数）。这一构造将局部信息组合成全局对象，与朗兰兹纲领密切相关。 6. 现代发展 格罗滕迪克等人用平展上同调理论证明了韦伊猜想，将ζ函数与代数簇的上同调群联系起来： \[ Z(V, T) = \prod_ {i=0}^{2\dim V} \det(1 - \operatorname{Frob}_ q \cdot T \mid H^i(V, \mathbb{Q}_ l))^{(-1)^{i+1}}, \] 其中 \(\operatorname{Frob}_ q\) 是弗罗贝尼乌斯自同构。这一公式揭示了ζ函数的几何本质，并推动了算术几何的深远发展。