勒贝格可测函数 勒贝格可测函数是实变函数论中的核心概念，它建立了可测集与函数之间的桥梁。为了理解它，我们需要从最基础的定义开始。 第一步：可测集是基础 在勒贝格测度理论中，我们首先定义了“可测集”。直观上，一个集合是可测的，意味着我们可以赋予它一个“长度”或“体积”，即勒贝格测度。所有勒贝格可测集的全体构成一个σ-代数。函数要能与积分等概念相容，其定义域的子集通过该函数映射后，应该与值域中的可测集保持某种“可测性”关系。 第二步：从实数映射到实数的函数 我们考虑定义在实数集R的某个子集E上的函数f: E → R。这里E本身是一个勒贝格可测集。我们的目标是描述函数f需要满足什么条件，才能被认为是“可测的”。 第三步：可测性的核心定义 勒贝格可测函数的关键定义是：对于实数集R中的每一个博雷尔集B（博雷尔集是所有开集生成的σ-代数中的元素，它包含了几乎所有我们关心的实数子集，如区间、单点集等），函数f的原像 f⁻¹(B) = { x ∈ E : f(x) ∈ B } 必须是定义域E中的勒贝格可测集。 换句话说，函数f将值域中的博雷尔集“拉回”到定义域，得到的集合仍然是可测的。这保证了函数值的变化能够用定义域的可测结构来追踪。 第四步：等价的、更实用的判别准则 上述定义虽然基础，但验证时需要检查所有博雷尔集，这在实际操作中很困难。幸运的是，我们有几个非常实用的等价判别定理。最常见的是： 函数f是勒贝格可测的，当且仅当，对于任意实数c，集合 { x ∈ E : f(x) > c } 是一个勒贝格可测集。 我们只需要检查形如(c, +∞)这样的区间所生成的原像是可测集即可，因为这等价于检查所有博雷尔集的原像可测。类似地，将条件“f(x) > c”替换为“f(x) ≥ c”、“f(x) < c”或“f(x) ≤ c”也都是等价的。 第五步：可测函数的基本性质 勒贝格可测函数类具有非常好的运算封闭性： 代数运算 ：如果f和g是可测函数，那么f + g, f - g, f * g, f/g (g不为零处) 也都是可测函数。 极限运算 ：如果{ f_ n }是一列可测函数，并且它们逐点收敛于一个函数f（即对每个x，lim f_ n(x) = f(x)），那么极限函数f也是可测的。这是勒贝格可测函数相较于黎曼可积函数的一个巨大优势，后者对极限运算不封闭。 第六步：简单函数与逼近定理 简单函数是指只取有限个值的可测函数。任何非负的勒贝格可测函数f，都可以找到一列单调递增的非负简单函数序列来逼近它。即存在简单函数序列{ s_ n }，满足0 ≤ s₁(x) ≤ s₂(x) ≤ ... ≤ f(x)，且 lim s_ n(x) = f(x) 对所有的x ∈ E成立。这个逼近定理是定义勒贝格积分的基础。 第七步：可测函数的重要性 勒贝格可测函数的概念之所以至关重要，是因为它是定义勒贝格积分的前提。我们只对可测函数定义勒贝格积分。正是由于可测函数类对极限运算的封闭性，我们才能得到诸如勒贝格控制收敛定理等一系列强大的收敛定理，这使得勒贝格积分在分析学中比黎曼积分灵活和强大得多。