索末菲-库默尔函数的级数表示
索末菲-库默尔函数是数学物理中一类重要的特殊函数，是索末菲-库默尔微分方程的解。我们从它的定义方程出发，来理解其级数表示是如何构造的。
第一步：回顾索末菲-库默尔微分方程
索末菲-库默尔微分方程的标准形式为：
\[ \frac{d^2 w}{dz^2} + \left( -\frac{1}{4} + \frac{\kappa}{z} + \frac{\frac{1}{4} - \mu^2}{z^2} \right) w = 0 \]
其中，\(\kappa\) 和 \(\mu\) 是复参数，\(z\) 是复变量。这个方程在正则奇点 \(z=0\) 和 \(z=\infty\) 附近的行为决定了其解的性质。我们的目标是找到在 \(z=0\) 附近收敛的幂级数解。
第二步：应用弗罗贝尼乌斯方法
由于 \(z=0\) 是方程的正则奇点，我们使用弗罗贝尼乌斯方法来寻找级数解。该方法假设解具有如下形式：
\[ w(z) = z^\rho \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \]
其中，\(\rho\) 是待定的指标（指数），\(a_n\) 是级数系数，且 \(a_0 \neq 0\)。将这个级数形式代入微分方程，目的是确定 \(\rho\) 和系数 \(a_n\)。
第三步：确定指标方程
将 \(w(z)\) 及其二阶导数代入方程，并只保留最低次幂（即 \(z^{\rho-2}\) 项）的系数。由于 \(a_0 \neq 0\)，为了使方程成立，\(z^{\rho-2}\) 的系数必须为零。这给出了一个关于 \(\rho\) 的二次方程，称为指标方程：
\[ \rho(\rho - 1) + \left( \frac{1}{4} - \mu^2 \right) = 0 \]
解这个方程，得到两个根：
\[ \rho_1 = \frac{1}{2} + \mu, \quad \rho_2 = \frac{1}{2} - \mu \]
这两个根对应于方程在 \(z=0\) 附近的两个线性无关解。
第四步：建立递推关系
对于每个指标根 \(\rho\)，我们可以将级数代入方程，并令 \(z\) 的各次幂的系数为零。对于 \(z^{\rho+n-1}\) 项，我们得到系数 \(a_n\) 必须满足的递推关系。这个递推关系通常形如：
\[ a_{n+1} = \frac{(\rho+n - \kappa)}{(\rho+n+1-\rho_1)(\rho+n+1-\rho_2)} a_n \]
或者等价地，通过更精确的推导，得到：
\[ (n+1)(n+2\mu+1) a_{n+1} - \left[ \kappa - \left( \rho + n + \frac{1}{2} \right) \right] a_n = 0 \]
（具体形式可能因方程参数的写法略有不同，但本质是相邻系数间的线性关系）。这个递推关系允许我们从 \(a_0\) 开始，依次计算出所有高阶系数。
第五步：构造正则解（惠塔克函数）
通常选择 \(a_0 = 1\)。对于指标根 \(\rho_1 = 1/2 + \mu\)，利用递推关系求出的系数所构成的级数解，称为第一类索末菲-库默尔函数（或惠塔克函数）\(M_{\kappa, \mu}(z)\)：
\[ M_{\kappa, \mu}(z) = z^{\frac{1}{2} + \mu} e^{-\frac{z}{2}} \Phi\left( \frac{1}{2} + \mu - \kappa, \, 1 + 2\mu; \, z \right) \]
其中，\(\Phi(a, b; z)\) 是合流超几何函数（也称为库默尔函数），其定义为：
\[ \Phi(a, b; z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(b)_n} \frac{z^n}{n!} \]
这里的 \((a)_n\) 是珀赫哈默尔符号（升阶乘），\((a)_n = a(a+1)...(a+n-1)\)，且 \((a)_0 = 1\)。这个级数在复平面上对所有 \(z\) 都收敛（尽管在 \(|z| \to \infty\) 时增长迅速）。
第六步：第二个线性无关解
当参数 \(2\mu\) 不是整数时，对应于第二个指标根 \(\rho_2 = 1/2 - \mu\) 的级数解 \(M_{\kappa, -\mu}(z)\) 与 \(M_{\kappa, \mu}(z)\) 是线性无关的。因此，索末菲-库默尔微分方程的通解可以写成：
\[ w(z) = A M_{\kappa, \mu}(z) + B M_{\kappa, -\mu}(z) \]
其中 \(A\) 和 \(B\) 是常数。当 \(2\mu\) 为整数时，这两个解可能线性相关，此时需要引入包含对数项的第二解（类似于贝塞尔函数的情况）。
总结
索末菲-库默尔函数的级数表示，本质上是通过弗罗贝尼乌斯方法在正则奇点 \(z=0\) 处求解微分方程得到的。其核心是合流超几何函数的幂级数展开，它清晰地展示了函数在原点附近的解析行为。这个级数表示为数值计算和在 \(|z|\) 较小区域的理论分析提供了基础工具。