量子力学中的Stone定理

1. 基本概念：单参数酉群
   在量子力学中，系统的时间演化由酉算子描述（因为要保概率）。若考虑时间平移对称性，即时间均匀，那么时间演化构成一个单参数连续群。具体来说，单参数酉群是一族酉算子 \(\{U(t)\}_{t \in \mathbb{R}}\)，满足：

   • \(U(0) = I\)（单位算子）
   • \(U(t+s) = U(t)U(s)\) 对所有实数 \(t, s\) 成立（群性质）
   • 强连续性：对任意固定的态矢量 \(\psi\)，映射 \(t \mapsto U(t)\psi\) 是连续的（按 Hilbert 空间范数拓扑）

2. 无穷小生成元
   强连续性保证了我们可以定义该酉群的导数。无穷小生成元 \(A\) 是一个（一般无界的）算子，定义为：

\[ A\psi = \lim_{t \to 0} \frac{U(t)\psi - \psi}{it} \quad \text{（极限在 Hilbert 空间范数意义下）} \]

其定义域是所有使该极限存在的矢量 \(\psi\) 的集合。在量子力学背景下，若 \(U(t)\) 是时间演化算子，则生成元 \(A\) 应与哈密顿量 \(H\) 通过 \(U(t) = e^{-iHt/\hbar}\) 关联。比较上式与指数函数的导数，可推测 \(A = H/\hbar\)（或 \(H = \hbar A\)）。

3. Stone 定理的表述
   Stone 定理建立了单参数酉群与其生成元之间的一一对应：

   • 定理：设 \(\{U(t)\}_{t \in \mathbb{R}}\) 是 Hilbert 空间 \(\mathcal{H}\) 上的强连续单参数酉群，则存在一个唯一的自伴算子 \(H\)（称为该酉群的生成元），使得 \(U(t) = e^{-iHt}\) 对所有 \(t \in \mathbb{R}\) 成立。这里指数映射通过谱定理定义。
   • 反之，若 \(H\) 是自伴算子，则 \(e^{-iHt}\) 定义了一个强连续单参数酉群。

4. 自伴性的关键作用
   生成元必须是自伴的（即 \(H = H^*\) 且定义域稠密），而不能只是对称的（仅满足 \(H \subset H^*\)）。这是因为：

   • 自伴性保证了谱定理适用，使得算子函数 \(e^{-iHt}\) 有明确意义。
   • 自伴性确保了 \(e^{-iHt}\) 是酉的（保持内积），而若 \(H\) 仅对称但非自伴，则 \(e^{-iHt}\) 可能不是酉的（例如扩展到更大的空间时会导致概率不守恒）。
   • 自伴性对应着量子力学中可观测量必须具有实谱（本征值全为实数）的要求。

5. 物理意义：时间演化的保证
   在薛定谔方程 \(i\hbar \frac{d}{dt}\psi(t) = H\psi(t)\) 中，形式解为 \(\psi(t) = e^{-iHt/\hbar}\psi(0)\)。Stone 定理告诉我们：

   • 当 \(H\) 是自伴的，该解对所有时间 \(t\) 有效，且时间演化是酉的、强连续的。
   • 这为量子系统的动力学提供了数学基础：哈密顿量的自伴性直接保证了时间演化的幺正性和连续性。

6. 与其他定理的关联

   • Stone 定理是更一般的 Hille-Yosida 定理 在酉群情形的特例（后者处理压缩半群）。
   • 在经典力学与量子力学的对应中，Stone 定理保证了由经典哈密顿量生成的正则变换（通过泊松括号）对应到量子力学中的酉时间演化（通过对易子）。