数值双曲型方程的计算网格生成

计算网格生成是数值模拟中的基础环节，它为偏微分方程的离散求解提供空间离散的单元或节点。对于双曲型方程，其解通常具有行波特征、可能产生间断（如激波），因此网格的质量直接影响数值解的精度、稳定性和计算效率。

1. 网格的基本概念

   • 定义：计算网格是将连续的物理计算区域划分为一系列子区域（单元）的集合。每个单元由节点（顶点）定义。
   • 分类：
     • 结构网格：网格节点排列有序，每个节点可通过指标（如i, j, k）唯一标识。其数据结构简单，计算效率高，但对于复杂几何形状的拟合能力较差。
     • 非结构网格：网格单元（如三角形、四面体）的连接关系无固定规律，需显式存储。它能灵活适应复杂几何外形，但数据结构和计算开销相对复杂。
     • 混合网格：在几何形状复杂的区域采用非结构网格，在相对规则的区域采用结构网格，以兼顾灵活性和效率。

2. 网格生成的主要方法

   • 代数方法：通过简单的数学函数（如插值、拉伸函数）直接将物理区域映射到规则的计算区域。例如，双曲函数拉伸可用于在边界层处加密网格。这种方法速度快，但对复杂形状的控制力较弱。
   • 偏微分方程方法：通过求解椭圆型、抛物型或双曲型偏微分方程来生成网格。
     • 椭圆型网格生成：通过求解泊松方程等，利用其光滑性生成非常光滑的网格，能自然避免网格交叉。通过控制源项，可以精确控制网格在物理空间中的疏密分布。
     • 双曲型网格生成：通过求解双曲型方程组进行推进，计算效率高，适用于外流场等无封闭边界的区域生成。
   • 推进波前法：常用于非结构网格生成。从一个初始边界（波前）开始，逐步向区域内部推进生成单元（如三角形），直至整个区域被填满。此法能生成高质量网格，但算法实现较复杂。
   • Delaunay三角化：一种重要的非结构网格生成方法，它保证网格中任意一个三角形的外接圆内不包含其他节点。Delaunay三角化能最大化最小角，避免出现过于狭长的单元，从而提升数值精度和稳定性。

3. 针对双曲型方程的网格特殊考虑

   • 自适应网格加密：双曲型方程的解可能包含激波、接触间断等局部特征。在这些区域进行网格加密，可以在不显著增加总计算量的前提下，显著提高对间断的分辨率。这通常与解的特征（如梯度）相关。
   • 网格对齐：对于具有明显方向性的问题（如边界层流动），网格线应尽可能与流动方向或物理特征（如激波面）对齐，以减少数值耗散和各向异性误差。
   • 运动网格：当求解的问题涉及边界运动或大变形时（如流体-结构相互作用），网格需要随之运动或重构，以保持对计算区域的合理离散。

4. 网格质量评估
   生成的网格需进行质量评估，以确保数值计算的可靠性。关键指标包括：

   • 正交性：网格线与物理边界或特征方向的垂直程度。高正交性有助于边界条件的准确施加。
   • 光滑性：相邻网格尺寸的变化应平缓，剧烈的尺寸变化会引入误差。
   • 长宽比：单元在各个方向尺寸的比值。过于狭长的单元（高长宽比）会导致数值矩阵条件数变差，影响迭代求解的收敛性。
   • 扭曲度：衡量单元形状与理想形状（如等边三角形、正方形）的偏离程度。

计算网格生成是连接物理模型几何与数值离散方法的桥梁，一个高质量的计算网格是获得高精度、稳定数值解的重要前提。