数值双曲型方程的ENO和WENO格式 ENO（Essentially Non-Oscillatory）和WENO（Weighted Essentially Non-Oscillatory）格式是一类用于求解含有间断解的双曲型守恒律方程的高阶精度数值方法。它们的核心设计目标是：在解的光滑区域达到高阶精度，而在间断附近基本无虚假振荡。 核心挑战：间断与振荡 双曲型方程（如欧拉方程）的解可能包含激波等间断。如果直接使用高阶插值多项式来重构界面通量，在间断附近，高阶多项式会引发吉布斯现象，导致解出现非物理的剧烈振荡。低阶格式（如一阶迎风）虽无振荡但耗散过大，会过度抹平解的细节。 基本思想：自适应模板选择 ENO和WENO格式的基本策略是，在计算单元界面处的数值通量时，不是固定使用一个全局模板，而是根据解的局部光滑度，自适应地选择一个或多个“最光滑”的局部模板来构造高阶插值多项式。 ENO格式的步骤 ENO格式通过一个“分层选择”过程来挑选模板。 a. 候选模板 ：假设我们要重构单元界面 \(x_ {i+1/2}\) 左侧的值。我们有几个候选的模板（即一组相邻的单元），例如 \(\{I_ {i-2}, I_ {i-1}, I_ {i}\}\)， \(\{I_ {i-1}, I_ {i}, I_ {i+1}\}\)， \(\{I_ {i}, I_ {i+1}, I_ {i+2}\}\)。每个模板都可以构造一个指定阶数（如k阶）的插值多项式。 b. 光滑度度量 ：计算每个候选模板对应的插值多项式在目标区间上的某种光滑度指标（通常与多项式导数的范数有关）。这个指标值越小，说明该模板上的解变化越平缓，越“光滑”。 c. 选择最光滑模板 ：比较所有候选模板的光滑度指标，选择指标值最小的那个模板。这就意味着我们避开了包含间断的“不光滑”模板。 d. 重构与通量计算 ：使用选出的最光滑模板所对应的插值多项式，来重构界面 \(x_ {i+1/2}\) 处的函数值，进而计算数值通量。 从ENO到WENO的改进 ENO格式的一个缺点是“选择”过程不够连续。模板的微小变化可能导致最终选用的模板发生跳变，这会影响计算精度和收敛性。WENO格式对此进行了关键性改进。 a. 加权平均思想 ：WENO格式不再只选一个“最优”模板，而是利用所有候选模板的插值结果，但为每个结果赋予一个权重。 b. 权重设计 ：权重的设计是WENO格式的精髓。权重 \(\omega_ k\) 与对应模板的光滑度指标 \(\beta_ k\) 成反比关系。对于非常光滑的模板，其光滑度指标 \(\beta_ k\) 很小，它被赋予的权重 \(\omega_ k\) 就接近于1（理想权重）；对于包含间断的不光滑模板，其 \(\beta_ k\) 很大，权重 \(\omega_ k\) 就接近于0。 c. 凸组合 ：最终的界面值重构是所有这些带权重的局部重构结果的一个凸组合（即权重之和为1）。在光滑区域，所有模板的权重都接近其理想值，组合后能达到比单个模板更高的阶数（例如，使用三个二阶模板的凸组合可得到五阶精度的WENO格式）。在间断附近，包含间断的模板权重自动趋近于零，从而有效地抑制了振荡。 WENO格式的优势 WENO格式相比ENO格式具有更高的精度（在光滑区可达\(2r-1\)阶，而ENO为\(r\)阶）、更好的光滑性和更高的计算效率，因为它避免了逻辑判断。它已成为计算流体力学、计算声学等领域中捕捉强间断和复杂波结构的标准高阶方法之一。WENO格式通常与高阶时间离散方法（如龙格-库塔法）结合，构成完整的时空离散方案。