数值抛物型方程的交替方向隐式方法 我们先从抛物型方程的基本概念开始。抛物型方程描述的是扩散、热传导等物理现象，其典型形式是热方程：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)。这类方程的解具有光滑性，对初始条件极为敏感。 在数值求解二维或三维抛物型方程时，如果直接使用完全隐式方法（如Crank-Nicolson格式），每个时间步都需要求解一个大型线性系统。对于二维问题，离散后得到的系数矩阵是块三对角矩阵；对于三维问题，结构更为复杂。使用直接法（如高斯消元法）求解这类系统，计算量会随着网格点数的增加而急剧增长（计算复杂度可达O(N³)或更高），对于精细网格，这几乎是不可行的。而使用迭代法（如共轭梯度法）虽然内存需求较低，但收敛速度可能较慢，尤其是在问题条件数较大时。 为了克服这一困难，Peaceman和Rachford在1955年提出了交替方向隐式方法。ADI的核心思想是“降维打击”：将一个复杂的高维问题分解为一系列简单的一维问题。具体来说，对于一个时间步长Δt，ADI方法将其拆分为两个（或三个）子步长。例如，在二维热传导问题中，第一个子步（从t到t+ Δt/2）只对x方向采用隐式离散，而y方向保持显式；第二个子步（从t+ Δt/2到t+ Δt）则只对y方向采用隐式，x方向变为显式。这样，在每个子步中，需要求解的线性系统都只涉及一个空间方向，其系数矩阵是经典的三对角矩阵，可以使用计算效率极高的Thomas算法（追赶法）求解，该算法的计算复杂度仅为O(N)。 标准的Peaceman-Rachford ADI格式（针对二维问题）可以写为： (u^{n+1/2} - u^n) / (Δt/2) = α [ δₓ² u^{n+1/2} + δᵧ² u^n ] (u^{n+1} - u^{n+1/2}) / (Δt/2) = α [ δₓ² u^{n+1/2} + δᵧ² u^{n+1} ] 其中δₓ²和δᵧ²分别是x和y方向的二阶中心差分算子。这种方法在时间上是二阶精度的，并且是无条件稳定的（对于线性常系数问题）。 然而，标准的ADI方法有其局限性，主要在于它通常只适用于矩形计算区域。对于复杂的几何形状，基本的ADI方法难以直接应用。为了将ADI的思想推广到更一般的情形，Douglas和Rachford随后提出了另一种形式的ADI方法，有时也称为近似因式分解法。这种方法通过将隐式算子在数学上近似分解为多个一维算子的乘积，从而仍然将高维问题转化为一系列一维问题来求解。Douglas-Rachford格式在处理非线性项或变系数问题时也展现出更好的灵活性。 尽管ADI方法极大地提高了计算效率，但它也引入了所谓的“分数步误差”。因为将一个时间步拆分成多个子步，并且对空间算子进行了近似因子分解，这会引入额外的截断误差。对于线性问题，这种误差通常是可接受的，并且方法的整体精度得以保持。但在处理强非线性问题或具有间断解的问题时，需要更加小心地设计算法。 在现代计算科学中，ADI方法的思想被进一步推广。例如，在求解由不可压缩Navier-Stokes方程得到的压力泊松方程时，经常会使用基于快速傅里叶变换的循环约化方法，其本质也是一种特殊的、极高效率的“方向”隐式求解技术。此外，ADI与局部一维方法有着紧密的联系，后者也是将高维问题分解为一维问题的序列，但分解的动机和方式略有不同，通常用于双曲型方程。