\*Gelfand表示\* Gelfand表示是交换巴拿赫代数理论中的核心结果，它将抽象的交换巴拿赫代数同构地表示为某个紧豪斯多夫空间上的连续函数代数。这个理论建立了泛函分析与拓扑学之间的深刻联系。 背景概念：交换巴拿赫代数 巴拿赫代数 ：首先，回忆巴拿赫空间是一个完备的赋范线性空间。一个巴拿赫代数 A 则是一个既是巴拿赫空间又是代数的结构，其乘法运算与范数满足相容性条件：对于所有 x, y ∈ A ，有 ||xy|| ≤ ||x|| ||y|| 。 交换性 ：我们这里讨论的巴拿赫代数是交换的，即对于所有 x, y ∈ A ，满足 xy = yx 。 单位元 ：我们通常假设代数 A 含有乘法单位元，记作 e ，满足 ex = xe = x 且 ||e|| = 1 。一个典型的例子是定义在紧豪斯多夫空间 X 上的所有复值连续函数构成的代数 C(X) ，其范数为上确界范数，乘法为函数的逐点乘法。 核心构件：乘法线性泛函与谱集 乘法线性泛函 ：这是Gelfand表示理论中的关键对象。它是代数 A 上的一个非零线性泛函 φ: A -> C ，并且保持乘法运算，即对于所有 x, y ∈ A ，有 φ(xy) = φ(x)φ(y) 。 性质 ：可以证明，如果 A 有单位元 e ，那么必有 φ(e) = 1 。此外，任何乘法线性泛函 φ 都是连续的，并且其范数 ||φ|| = 1 。 谱集 ：代数 A 上所有乘法线性泛函的集合被称为 A 的谱集（Spectrum）或极大理想空间，记作 σ(A) 或 Δ_A 。 谱集的拓扑结构：Gelfand拓扑 谱集 σ(A) 可以赋予一个自然的拓扑，使其成为一个紧的豪斯多夫空间。这个拓扑称为Gelfand拓扑。 定义方式 ：Gelfand拓扑是 σ(A) 作为 A 的对偶空间（所有连续线性泛函的空间）的子集上的相对弱* 拓扑。简单来说，一个网 {φ_α} 在 σ(A) 中收敛于 φ ，当且仅当对于每一个 x ∈ A ，复数网 {φ_α(x)} 收敛于 φ(x) 。在这个拓扑下， σ(A) 是紧的（这是由Alaoglu定理保证的）和豪斯多夫的。 Gelfand表示的核心：Gelfand变换 定义 ：对于代数 A 中的每一个元素 x ，我们可以定义一个函数 x̂ ，其定义域是谱集 σ(A) ，值域是复数域 C 。具体定义为：对于任意的乘法线性泛函 φ ∈ σ(A) ，令 x̂(φ) = φ(x) 。这个函数 x̂ 被称为 x 的Gelfand变换。 连续性 ：由于Gelfand拓扑的定义方式，函数 x̂ 是连续函数。因此，Gelfand变换将一个代数元素 x ∈ A 映射成了一个连续函数 x̂ ∈ C(σ(A)) ，这里 C(σ(A)) 是定义在紧豪斯多夫空间 σ(A) 上的所有连续复值函数构成的代数。 代数同态 ：映射 Γ: A -> C(σ(A)) ，定义为 Γ(x) = x̂ ，是一个代数同态。这意味着它保持线性运算和乘法运算： (x+y)̂ = x̂ + ŷ , (λx)̂ = λx̂ , (xy)̂ = x̂ ŷ 。 Gelfand表示定理的陈述 综合以上步骤，Gelfand表示定理可以表述为：设 A 是一个具有单位元的交换巴拿赫代数， σ(A) 是其谱集（赋予Gelfand拓扑），那么Gelfand变换 Γ: A -> C(σ(A)) 是一个连续的代数同态，并且其范数 ||Γ|| ≤ 1 。这个映射的像 Γ(A) 是 C(σ(A)) 的一个子代数，它区分 σ(A) 中的点（即如果 φ ≠ ψ ，则存在 x 使得 x̂(φ) ≠ x̂(ψ) ）。 深入理解与意义 等距同构的条件 ：Gelfand变换不总是单射，也不是满射，更不总是等距（即 ||x̂|| 不一定等于 ||x|| ）。当且仅当代数 A 是半单的（即所有极大理想的交为 {0} ）时，Gelfand变换是单射。当且仅当对每个 x 有 ||x^2|| = ||x||^2 （即 A 是函数代数）时，它是等距的。 功能 ：这个定理的威力在于它将一个抽象的代数对象 A “表示”为一个更具体、更容易理解的对象——函数代数。代数 A 中元素的许多性质可以通过研究其Gelfand变换（即函数）来推断。例如，元素 x 的谱（所有使得 x - λe 不可逆的 λ 的集合）恰好等于其Gelfand变换 x̂ 的值域。 应用 ：Gelfand表示是研究交换巴拿赫代数结构的有力工具，并在调和分析（例如证明Wiener定理）、算子理论（例如为正规算子提供函数演算）等领域有重要应用。