圆的等距线

1. 基础概念：在平面几何中，给定一个圆和一组平行线，圆的等距线是指与给定圆具有固定距离的点的轨迹。具体来说，若给定圆的半径为R，固定距离为d，则等距线由所有到该圆距离恰好为d的点组成。这里"距离"指点到圆的最短距离（即点到圆心的距离减去半径的绝对值）。

2. 数学表达：设圆心在原点，半径为R的圆方程为x²+y²=R²。则其等距线可表示为两个分支：

   • 外等距线：到圆的距离为d的点满足√(x²+y²) - R = d，即x²+y² = (R+d)²（同心圆）
   • 内等距线：当d<R时，满足R - √(x²+y²) = d，即x²+y² = (R-d)²（同心圆）

3. 几何特性：

   • 圆的等距线是同心圆族，半径分别为|R±d|
   • 当d>R时，内等距线不存在实轨迹
   • 等距线保持原圆的对称性，且任意两条等距线间的法向距离恒定

4. 微分几何推广：将等距概念推广到任意曲线，通过沿法线方向偏移固定距离生成等距曲线。对于圆而言，由于其曲率恒定，等距线仍为完美圆形，这种性质是圆独有的几何特征。

5. 工程应用：在机械工程中，圆的等距线原理应用于齿轮的齿廓设计（生成与基圆等距的渐开线）、管道保温层厚度计算等领域，确保平行结构间的均匀间隙。