索末菲-库默尔函数的合流超几何函数表示 首先，我们回顾合流超几何函数（confluent hypergeometric function）的定义。合流超几何方程的标准形式为： \[ z \frac{d^2 w}{dz^2} + (c - z) \frac{dw}{dz} - a w = 0, \] 其中 \(a\) 和 \(c\) 是复参数。这个方程有两个线性无关的解，常用的是库默尔函数 \(M(a, c, z)\) 和特里科米函数 \(U(a, c, z)\)。库默尔函数 \(M(a, c, z)\) 在 \(z=0\) 处正则，其级数表示为： \[ M(a, c, z) = 1 + \frac{a}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a(a+1)}{c(c+1)} \frac{z^2}{2 !} + \cdots. \] 接下来，我们联系到索末菲-库默尔方程（Sommerfeld-Cummer equation）。该方程源自对亥姆霍兹方程或波动方程在柱坐标下的分离变量，其形式为： \[ \frac{d^2 w}{dz^2} + \left( -\frac{1}{4} + \frac{\kappa}{z} + \frac{1/4 - \mu^2}{z^2} \right) w = 0, \] 其中 \(\kappa\) 和 \(\mu\) 是常数参数。这个方程可以通过变量替换转化为合流超几何方程。 具体转化过程如下：令 \(w(z) = z^{\mu + 1/2} e^{-z/2} v(z)\)，代入索末菲-库默尔方程。通过计算导数并整理项，方程可化简为： \[ z \frac{d^2 v}{dz^2} + (2\mu + 1 - z) \frac{dv}{dz} - \left( \mu + \frac{1}{2} - \kappa \right) v = 0. \] 这与合流超几何方程比较，参数对应为 \(a = \mu + 1/2 - \kappa\)，\(c = 2\mu + 1\)。因此，解 \(v(z)\) 是库默尔函数 \(M(a, c, z)\) 或 \(U(a, c, z)\) 的线性组合。 最终，索末菲-库默尔函数的合流超几何函数表示可写为： \[ w(z) = z^{\mu + 1/2} e^{-z/2} \left[ C_ 1 M\left( \mu + \frac{1}{2} - \kappa, 2\mu + 1, z \right) + C_ 2 U\left( \mu + \frac{1}{2} - \kappa, 2\mu + 1, z \right) \right ], \] 其中 \(C_ 1\) 和 \(C_ 2\) 是常数。这种表示将索末菲-库默尔函数与标准特殊函数联系起来，便于分析渐近行为和计算积分表示。