索末菲-库默尔函数的合流超几何函数表示
- 合流超几何函数的基本定义
合流超几何函数（Confluent Hypergeometric Function）是数学物理中一类重要的特殊函数，定义为以下级数：
\[ M(a, b, z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n}{(b)_n} \frac{z^n}{n!} \]
其中 \((a)_n = a(a+1)\cdots(a+n-1)\) 是珀赫默默符号（Pochhammer symbol），\(b \notin \mathbb{Z}_{\leq 0}\)。该函数满足合流超几何微分方程：
\[ z \frac{d^2 w}{dz^2} + (b-z) \frac{dw}{dz} - a w = 0. \]
它是超几何函数在参数极限下的"合流"形式，常用于描述具有正则奇点的物理问题。
- 索末菲-库默尔函数与合流超几何方程的联系
索末菲-库默尔函数是合流超几何方程的另一类解，通常记为 \(U(a, b, z)\)，与 \(M(a, b, z)\) 线性无关。其积分表示为：
\[ U(a, b, z) = \frac{1}{\Gamma(a)} \int_0^{\infty} e^{-z t} t^{a-1} (1+t)^{b-a-1} dt \quad (\Re a > 0, \Re z > 0). \]
当 \(b=2a\) 时，该函数可退化为贝塞尔函数；当 \(a\) 为半整数时，则与抛物柱函数相关。
- 索末菲-库默尔函数的显式表示
通过合流超几何函数，索末菲-库默尔函数可写为：
\[ U(a, b, z) = \frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(a-b+1)} M(a, b, z) + \frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)} z^{1-b} M(a-b+1, 2-b, z). \]
此表达式在 \(b \notin \mathbb{Z}\) 时成立，解决了 \(M(a, b, z)\) 在 \(b \in \mathbb{Z}\) 时的奇异性问题。
- 物理问题中的应用示例
在量子力学中，氢原子的径向薛定谔方程的解可表示为：
\[ R_{nl}(r) \propto e^{-\kappa r} (\kappa r)^l U(l+1-n, 2l+2, 2\kappa r), \]
其中 \(n, l\) 为主量子数和角量子数，\(\kappa\) 与能量相关。此形式直接利用了合流超几何函数表示，体现了索末菲-库默尔函数在束缚态问题中的核心作用。
- 渐近行为与对称性
当 \(|z| \to \infty\) 时，索末菲-库默尔函数的渐近展开为：
\[ U(a, b, z) \sim z^{-a} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n (a-b+1)_n}{n!} (-z)^{-n} \quad (|\arg z| < \frac{3\pi}{2}). \]
该性质在散射理论中至关重要，例如库仑势场中粒子的远场行为即由此描述。