数学中“凸分析”的起源与发展

1. 直观几何起源与早期观察
   凸分析的核心研究对象是“凸集”。一个集合是凸的，如果连接其中任意两点的线段完全包含在该集合内。这个性质非常直观，例如实心圆盘、实心球体、三角形、正方形等图形都是凸的。相反，一个新月形或一个空心圆环就不是凸的。早在古希腊时期，阿基米德等数学家就已经在研究中隐含地使用了凸体的性质，例如在计算面积和体积时。然而，在很长一段时间里，凸性主要被视为几何图形的一种天然属性，并未被系统性地提炼成一门独立的数学理论。

2. 闵可夫斯基的工作与系统化开端
   凸分析作为一门独立分支的真正开端，通常追溯到德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基在19世纪末20世纪初的工作。闵可夫斯基为了处理数论中的问题，开创性地将几何方法引入数论，发展出了“数的几何”。在这一过程中，他系统地研究了几维空间中的凸体，特别是它们的支撑性质。他引入了“支撑超平面”的概念：对于空间中的一个凸体，其边界上的任意一点，都存在至少一个超平面（在二维中是直线，三维中是平面）穿过该点，使得整个凸体位于该超平面的一侧。这个看似简单的性质成为了凸分析的基石之一。闵可夫斯基还研究了凸体的混合体积理论，为后来的发展奠定了坚实基础。

3. 哈恩-巴拿赫定理与泛函分析中的凸性分离
   20世纪上半叶，泛函分析的迅猛发展极大地推动了凸分析的成熟。一个关键性的突破是哈恩-巴拿赫定理。这个定理的核心思想是“凸集分离定理”的泛函形式。它指出，在一个拓扑向量空间（如巴拿赫空间）中，两个不相交的凸集（其中一个有内点）可以被一个连续线性泛函所定义的闭超平面严格分离。这为研究无限维空间中的凸集提供了强大的工具，将闵可夫斯基在有限维空间中的几何直觉推广到了更一般的框架下。凸性成为研究函数空间、对偶理论、优化问题不可或缺的概念。

4. 凸函数理论的建立与次微分概念的引入
   凸分析的另一个核心部分是“凸函数”的理论。一个函数是凸的，如果连接其图像上任意两点的线段都位于图像的上方。凸函数具有许多优良的性质，例如局部极小值就是全局极小值，并且通常具有良好的连续性。然而，凸函数在不可导的点上如何处理其“导数”是一个关键问题。为此，数学家们引入了“次梯度”和“次微分”的概念。对于一个凸函数在某一点，其所有次梯度构成的集合称为次微分。即使在函数不可导的点，次微分也可能是一个非空的集合（例如，在绝对值函数的零点，次微分是整个区间[-1, 1]）。次微分将经典导数的概念推广到了凸函数上，使得微分学的方法可以应用于更广泛的非光滑凸函数，这是凸分析区别于经典微积分的标志性工具。

5. 近代发展与优化理论的深度融合
   二战之后，特别是随着线性规划、非线性规划等最优化理论的兴起，凸分析迎来了其发展的黄金时期。罗克afellar等数学家在前人工作的基础上，建立了一套严格而完整的凸分析理论体系，并将其著作《Convex Analysis》中。他们系统地阐述了凸集、凸函数、共轭函数、对偶性等核心概念。由于绝大多数优化问题（如经济学中的效用最大化、工程中的最优控制、机器学习中的模型训练）都可以被建模或近似为凸优化问题，而凸优化问题拥有高效的算法和可靠的全局最优解，因此凸分析成为了现代优化理论不可或缺的数学基础。至今，凸分析仍然在信号处理、统计学、机器学习、金融工程等众多领域发挥着至关重要的作用。