二次型的自守L函数的函数方程与解析延拓 我们先回顾二次型的自守L函数的基本定义。设Q是一个正定二次型，其theta级数θ_ Q(z)是一个模形式。这个模形式可以分解为艾森斯坦级数和尖点形式的和。对应的L函数L(s, Q)是通过模形式的傅里叶系数的狄利克雷级数定义的。 现在，我们深入探讨这个L函数的解析性质。关键的第一步是引入一个完整的因子，称为gamma因子。对于权为k的模形式对应的L函数，gamma因子通常是Γ函数的形式，例如Γ(s)或Γ(s + (k-1)/2)。这个因子的选择与模形式的权密切相关。 接下来，我们构造完整的L函数Λ(s)。完整的L函数定义为Λ(s) = N^(s/2) * γ(s) * L(s)，其中N是模形式的级，γ(s)是gamma因子。这个完整的L函数具有极好的对称性。 函数方程的核心思想是Λ(s) = ε * Λ(k - s)，其中ε是一个模为1的复数，称为根数。这个方程表明，完整的L函数关于点s = k/2对称。证明这个方程通常需要利用模形式在模变换下的性质。 为了理解解析延拓，我们考虑完整的L函数Λ(s)。通过函数方程，我们可以将L函数的定义域扩展到整个复平面。例如，如果L(s)原本在某个区域收敛，函数方程允许我们将其定义延拓到其他区域。 解析延拓后的L函数在整个复平面上是亚纯函数，通常只有有限个极点。对于尖点形式对应的L函数，它甚至是整函数。这个性质使得我们可以应用复分析的工具研究L函数的零点分布。 最后，函数方程和解析延拓使得朗兰兹纲领中的方法成为可能。它们为研究二次型表示数的渐近行为提供了强大的解析工具，例如通过研究L函数在特定点的留数。