量子力学中的WKB近似 WKB近似是量子力学中一种求解定态薛定谔方程的近似方法，特别适用于势能缓慢变化的场合。它以Wentzel、Kramers和Brillouin三位物理学家的姓氏首字母命名。 第一步：理解基本问题背景 定态薛定谔方程的形式为： (-ħ²/2m) d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ 其中ħ是约化普朗克常数，m是粒子质量，V(x)是势能函数，E是能量，ψ是波函数。这是一个二阶微分方程，在势能V(x)随位置变化的情况下通常难以精确求解。 第二步：引入波矢量的概念 将方程改写为： d²ψ/dx² + k²(x)ψ = 0 其中k(x) = √[ 2m(E-V(x))]/ħ 称为局域波数。当E > V(x)时，k(x)为实数，对应经典允许区；当E < V(x)时，k(x)为虚数，对应经典禁戒区。 第三步：建立WKB近似的基本思想 WKB近似的核心思想是假设波函数可以写成指数形式： ψ(x) = exp[ iS(x)/ħ ] 其中S(x)是一个待定的复函数。将其代入薛定谔方程，得到关于S(x)的方程： iħ d²S/dx² - (dS/dx)² + ħ²k²(x) = 0 第四步：按ħ的幂次展开 假设S(x)可以按ħ的幂次展开： S(x) = S₀(x) + (ħ/i)S₁(x) + (ħ/i)²S₂(x) + ... 这种展开基于ħ是一个小量的物理事实（与经典物理相比）。 第五步：求解各级近似方程 将展开式代入方程，收集ħ的同次幂项： • 零阶项（ħ⁰）：(dS₀/dx)² = ħ²k²(x) ⇒ S₀(x) = ±ħ∫k(x)dx • 一阶项（ħ¹）：d²S₀/dx² + 2(dS₀/dx)(dS₁/dx) = 0 ⇒ S₁(x) = -½ ln|k(x)| 第六步：得到WKB近似波函数 结合前两步结果，得到WKB近似波函数： 在经典允许区（E > V(x)）： ψ(x) ≈ A/√k(x) exp[ ±i∫k(x)dx ] 在经典禁戒区（E < V(x)）： ψ(x) ≈ B/√κ(x) exp[ ±∫κ(x)dx]，其中κ(x) = √[ 2m(V(x)-E) ]/ħ 第七步：理解近似的适用条件 WKB近似的有效性要求势能变化足够缓慢，数学上表示为： |dV/dx| ≪ |2m(E-V)³|½/(mħ) 这意味着势能在一个波长尺度内的变化远小于粒子的动能。 第八步：处理转折点问题 在E = V(x)的转折点处，k(x)=0，WKB近似失效。需要特殊处理，通常通过连接公式将转折点两侧的解匹配起来，确保波函数及其导数连续。 第九步：应用玻尔-索末菲量子化条件 对于束缚态问题，WKB近似导出的量子化条件为： ∮p(x)dx = (n+½)h 其中积分沿一个完整周期，n是量子数。这个条件在选择允许的能量值时十分有用。 第十步：认识WKB近似的物理意义 WKB近似本质上是将量子力学与经典力学通过半经典方式联系起来。波函数的振幅与1/√p成比例，反映了经典粒子在势场中不同位置处停留时间的长短，而相位项则对应着经典作用量。