量子力学中的Wick定理
好的，我们来探讨量子力学，特别是量子场论和多体物理中一个极为强大的工具——Wick定理。它提供了一种系统的方法，将产生和湮灭算符的乘积简化为所谓的“正规序”形式，并明确计算出其间的收缩（Contractions）。这对于计算物理量的期望值（特别是基态期望值，即真空期望值）至关重要。
第一步：理解算符的“序”的概念
在经典力学中，变量的乘积顺序无关紧要（ab = ba）。但在量子力学中，由于算符可能不对易（即 ab ≠ ba），算符的排列顺序就变得极其重要。
- 常规乘积：就是算符书写的自然顺序，没有经过特殊重排。例如，\(\hat{a} \hat{a}^\dagger\) 就是一个常规乘积。
- 正规序：这是一个关键概念。一个算符乘积的正规序（通常用 \(N(\cdots)\) 符号表示）是指，我们将所有产生算符 \(\hat{a}^\dagger\) 放在所有湮灭算符 \(\hat{a}\) 的左边。
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产生算符 \(\hat{a}^\dagger\)：作用在量子态上，会增加一个粒子（或激发）。
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湮灭算符 \(\hat{a}\)：作用在量子态上，会减少一个粒子（或激发）。
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真空态 \(|0\rangle\)：是不存在任何粒子（或激发）的态，是所有湮灭算符的零向量，即对任意 \(\hat{a}\)，有 \(\hat{a} |0\rangle = 0\)。
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正规序的核心性质：正规序算符作用在真空态 \(|0\rangle\) 上时，其结果非常简单。因为所有的湮灭算符都在最右边，它们会首先作用在真空态上，并立即将其湮灭，结果为零。即：
\[ N(\text{任意算符串}) |0\rangle = 0 \]
这个性质使得正规序算符的真空期望值计算变得平凡（为零），这在实际计算中是一个巨大的简化。
- 示例：考虑谐振子的产生和湮灭算符。它们的对易关系为 \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\)。
- 算符 \(\hat{a} \hat{a}^\dagger\) 的常规序就是它本身。
- 它的正规序 \(N(\hat{a} \hat{a}^\dagger)\) 需要把产生算符放在左边，所以 \(N(\hat{a} \hat{a}^\dagger) = \hat{a}^\dagger \hat{a}\)。
- 注意，\(\hat{a} \hat{a}^\dagger\) 和 \(N(\hat{a} \hat{a}^\dagger) = \hat{a}^\dagger \hat{a}\) 是不相等的，因为 \([\hat{a}, \hat{a}^\dagger] \neq 0\)。实际上，\(\hat{a} \hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger \hat{a} + 1\)。
第二步：引入“收缩”的概念
既然一个算符乘积和它的正规序不相等，那么它们的差值是多少？这个差值就由“收缩”来刻画。
- 收缩的定义：两个算符 \(\hat{A}\) 和 \(\hat{B}\) 的收缩（用下方一条连线表示，例如 \(\contraction{}{\hat{A}}{}{\hat{B}} \hat{A}\hat{B}\)，或在文本中常用 \(\widehat{AB}\) 表示）定义为该算符乘积与它们的正规序之差：
\[ \contraction{}{\hat{A}}{}{\hat{B}} \hat{A}\hat{B} = \hat{A}\hat{B} - N(\hat{A}\hat{B}) \]
关键点在于，对于玻色子的产生和湮灭算符，**收缩是一个复数（c数）**，而不是一个算符。它等于这两个算符的**真空期望值**：
\[ \contraction{}{\hat{A}}{}{\hat{B}} \hat{A}\hat{B} = \langle 0 | \hat{A}\hat{B} | 0 \rangle \]
我们来计算几种情况：
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\(\contraction{}{\hat{a}}{}{\hat{a}} \hat{a}\hat{a} = \langle 0 | \hat{a}\hat{a} | 0 \rangle = 0\)（因为 \(\hat{a}|0\rangle=0\)）。
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\(\contraction{}{\hat{a}^\dagger}{}{\hat{a}^\dagger} \hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger = \langle 0 | \hat{a}^\dagger\hat{a}^\dagger | 0 \rangle = 0\)。
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\(\contraction{}{\hat{a}^\dagger}{}{\hat{a}} \hat{a}^\dagger\hat{a} = \langle 0 | \hat{a}^\dagger\hat{a} | 0 \rangle = 0\)。
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最重要的收缩：\(\contraction{}{\hat{a}}{}{\hat{a}^\dagger} \hat{a}\hat{a}^\dagger = \langle 0 | \hat{a}\hat{a}^\dagger | 0 \rangle\)。由于 \(\hat{a}\hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger \hat{a} + 1\)，且 \(\langle 0 | \hat{a}^\dagger \hat{a} | 0 \rangle = 0\)，所以 \(\langle 0 | \hat{a}\hat{a}^\dagger | 0 \rangle = 1\)。
因此，我们得到唯一的非零收缩是：
\[ \contraction{}{\hat{a}}{}{\hat{a}^\dagger} \hat{a}\hat{a}^\dagger = 1, \quad \contraction{}{\hat{a}^\dagger}{}{\hat{a}} \hat{a}^\dagger\hat{a} = 0 \]
（注意收缩与顺序有关）。
第三步：陈述Wick定理
现在我们可以给出Wick定理的完整表述。
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Wick定理：任意多个产生和湮灭算符的乘积 \(T = \hat{A} \hat{B} \hat{C} \dots \hat{Z}\) 等于其正规序形式加上所有可能的收缩项之和。
- “所有可能的收缩” 包括：单收缩、双收缩、等等，以及无收缩（即正规序本身）。
- “所有可能” 意味着要对所有方式配对算符并进行收缩。如果算符数量是偶数，最终会包含完全收缩项（所有算符都两两配对）；如果是奇数，则不会出现完全收缩项。
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符号规则：在求和中，每一项需要乘以一个符号因子 \((-1)^P\)，其中 \(P\) 是将算符重新排列到“收缩在一起”的算符相邻位置所需的置换次数（对于费米子，这个符号至关重要；对于玻色子，由于交换顺序不产生符号，可以忽略，但定义上仍然存在）。
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数学表达式（用于玻色子）：
\[ \hat{A} \hat{B} \hat{C} \dots = N(\hat{A} \hat{B} \hat{C} \dots) + \sum_{\text{单收缩}} N(\text{带有一个收缩的剩余算符}) + \sum_{\text{双收缩}} N(\text{带有两个收缩的剩余算符}) + \dots \]
其中，\(N(\text{带收缩的表达式})\) 意味着先进行指定的收缩（得到c数），然后对剩余未收缩的算符取正规序。
第四步：通过一个例子来应用Wick定理
让我们计算一个具体的例子：\(T = \hat{a} \hat{a}^\dagger\)。
- 无收缩项：就是正规序本身，\(N(\hat{a} \hat{a}^\dagger) = \hat{a}^\dagger \hat{a}\)。
- 所有可能的收缩：只有一种方式，收缩 \(\hat{a}\) 和 \(\hat{a}^\dagger\)。这个收缩等于1。
- 收缩后，没有剩余的算符了。所以这一项就是收缩值本身：1。
- 由于我们只交换了 \(\hat{a}\) 和 \(\hat{a}^\dagger\) 来使它们相邻（实际上它们本来相邻），置换次数 \(P=0\)，符号因子为 \((-1)^0=1\)。
- 根据Wick定理：
\[ \hat{a} \hat{a}^\dagger = N(\hat{a} \hat{a}^\dagger) + \contraction{}{\hat{a}}{}{\hat{a}^\dagger} \hat{a}\hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger \hat{a} + 1 \]
这正好与我们熟知的对易关系 \(\hat{a} \hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger \hat{a} + 1\) 相符。
我们再来看一个更复杂的例子：\(T = \hat{a} \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}^\dagger\)。
- 无收缩项：\(N(\hat{a} \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}^\dagger) = \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}\)。
- 所有单收缩：
- 收缩1和2：\(\contraction{}{\hat{a}}{}{\hat{a}^\dagger} \hat{a}\hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}^\dagger = 1 \cdot N(\hat{a} \hat{a}^\dagger) = 1 \cdot (\hat{a}^\dagger \hat{a})\)。
- 收缩1和4：\(\contraction{}{\hat{a}}{}{\hat{a}^\dagger} \hat{a}\hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}^\dagger = 1 \cdot N(\hat{a}^\dagger \hat{a})\)。注意，收缩1和4后，剩下中间的 \(\hat{a}^\dagger\) 和 \(\hat{a}\)，它们的正规序是 \(\hat{a}^\dagger \hat{a}\)。
- 收缩2和3：\(\contraction{}{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}{\hat{a}} \hat{a}\hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}^\dagger = 0\)（因为收缩 \(\hat{a}^\dagger\) 和 \(\hat{a}\) 等于0）。
- 收缩3和4：\(\contraction{}{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger \hat{a}}{\hat{a}^\dagger} \hat{a}\hat{a}^\dagger \hat{a}\hat{a}^\dagger = 1 \cdot N(\hat{a} \hat{a}^\dagger) = 1 \cdot (\hat{a}^\dagger \hat{a})\)。
- 所有双收缩（完全收缩）：
- 收缩(1-2)和(3-4)：\(\contraction{}{\hat{a}}{}{\hat{a}^\dagger} \contraction[2ex]{\hat{a}\hat{a}^\dagger}{\hat{a}}{}{\hat{a}^\dagger} \hat{a}\hat{a}^\dagger \hat{a}\hat{a}^\dagger = 1 \cdot 1 = 1\)。
- 收缩(1-4)和(2-3)：\(\contraction{}{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger \hat{a}}{\hat{a}^\dagger} \contraction[2ex]{\hat{a}}{\hat{a}^\dagger}{}{\hat{a}} \hat{a}\hat{a}^\dagger \hat{a}\hat{a}^\dagger = 1 \cdot 0 = 0\)。
- 根据Wick定理求和：
\[ \hat{a} \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}^\dagger = \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a} + (\hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a}^\dagger \hat{a}) + 1 \]
\[ = \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a} + 3\hat{a}^\dagger \hat{a} + 1 \]
第五步：Wick定理的威力和应用
Wick定理的强大之处在于它将一个复杂的算符乘积问题，转化为了一个机械的、组合数学的问题。你不需要费力地去使用对易关系一步步化简，只需要：
- 列出所有可能的算符配对（收缩）方式。
- 对每一种配对方式，将收缩值（c数）与剩余算符的正规序相乘。
- 将所有项求和。
这在计算关联函数（即真空期望值 \(\langle 0 | \hat{A} \hat{B} \hat{C} \dots | 0 \rangle\)）时尤其强大。因为根据正规序的性质，\(N(\cdots) |0\rangle = 0\)，所以只有完全收缩项（即所有算符都两两配对的项）对真空期望值有贡献。这极大地简化了计算。
Wick定理是微扰量子场论和有限温度场论的基石，著名的Feynman图（费曼图）本质上就是Wick定理的图形化表示，每一种完全收缩方式都对应一个费曼图。