随机规划中的多阶段决策与动态风险度量
字数 859 2025-11-03 18:01:13

随机规划中的多阶段决策与动态风险度量

  1. 基本概念：多阶段决策问题涉及在多个时间阶段依次做出决策，每个阶段的决策依赖于当前状态和未来不确定性。动态风险度量是评估多阶段随机决策风险的工具，它不仅考虑最终结果的分布，还关注风险随时间累积的过程。

  2. 数学模型：设决策阶段为 \(t=1,\dots,T\)，状态变量为 \(x_t\)，决策变量为 \(u_t\)，随机噪声为 \(\xi_t\)。系统演化遵循状态方程 \(x_{t+1} = f_t(x_t, u_t, \xi_t)\)。目标是最小化总成本 \(\sum_{t=1}^T c_t(x_t, u_t, \xi_t)\) 的动态风险值。

  3. 动态风险度量的性质：采用一致性动态风险度量（如条件风险价值，CVaR的动态扩展），需满足：

    • 时间一致性：当前阶段的风险评估与未来阶段的风险评估逻辑一致，避免策略短视。
    • 单调性：若某路径成本始终更低，则其风险值更小。
    • 凸性：保证优化问题的凸结构，便于求解。

  4. 动态规划方程：通过贝尔曼方程递归计算最优策略。定义值函数 \(V_t(x_t)\) 为从阶段 \(t\) 状态 \(x_t\) 出发的最小动态风险值：

\[ V_t(x_t) = \min_{u_t} \rho_t \left( c_t(x_t, u_t, \xi_t) + V_{t+1}(x_{t+1}) \right) \]

其中 \(\rho_t\) 为条件风险度量算子，编码对阶段 \(t\) 后风险的态度。

  1. 求解方法：

    • 随机动态规划：当状态和噪声空间较小时，直接递归求解。
    • 近似动态规划（ADP）：对于高维问题，使用值函数近似或策略搜索，结合蒙特卡洛采样。
    • 随机对偶动态规划（SDDP）：针对凸问题，通过割平面法近似值函数，处理连续随机变量。

  2. 应用场景：适用于金融投资组合动态管理、能源系统调度、供应链多期库存控制等需长期风险控制的领域。

随机规划中的多阶段决策与动态风险度量 基本概念 ：多阶段决策问题涉及在多个时间阶段依次做出决策，每个阶段的决策依赖于当前状态和未来不确定性。动态风险度量是评估多阶段随机决策风险的工具，它不仅考虑最终结果的分布，还关注风险随时间累积的过程。 数学模型 ：设决策阶段为 \( t=1,\dots,T \)，状态变量为 \( x_ t \)，决策变量为 \( u_ t \)，随机噪声为 \( \xi_ t \)。系统演化遵循状态方程 \( x_ {t+1} = f_ t(x_ t, u_ t, \xi_ t) \)。目标是最小化总成本 \( \sum_ {t=1}^T c_ t(x_ t, u_ t, \xi_ t) \) 的动态风险值。 动态风险度量的性质 ：采用一致性动态风险度量（如条件风险价值，CVaR的动态扩展），需满足： 时间一致性 ：当前阶段的风险评估与未来阶段的风险评估逻辑一致，避免策略短视。 单调性 ：若某路径成本始终更低，则其风险值更小。 凸性 ：保证优化问题的凸结构，便于求解。 动态规划方程 ：通过贝尔曼方程递归计算最优策略。定义值函数 \( V_ t(x_ t) \) 为从阶段 \( t \) 状态 \( x_ t \) 出发的最小动态风险值： \[ V_ t(x_ t) = \min_ {u_ t} \rho_ t \left( c_ t(x_ t, u_ t, \xi_ t) + V_ {t+1}(x_ {t+1}) \right) \] 其中 \( \rho_ t \) 为条件风险度量算子，编码对阶段 \( t \) 后风险的态度。 求解方法 ： 随机动态规划 ：当状态和噪声空间较小时，直接递归求解。 近似动态规划（ADP） ：对于高维问题，使用值函数近似或策略搜索，结合蒙特卡洛采样。 随机对偶动态规划（SDDP） ：针对凸问题，通过割平面法近似值函数，处理连续随机变量。 应用场景 ：适用于金融投资组合动态管理、能源系统调度、供应链多期库存控制等需长期风险控制的领域。