复变函数的正规族 首先，正规族是复变函数理论中研究函数序列或函数族整体行为的重要概念。一个函数族被称为正规的，如果其中的任意函数序列都包含一个子序列，该子序列在区域上内闭一致收敛（或发散到无穷）。这为研究函数族的紧致性提供了工具。 1. 定义与基本性质 设 \( \mathcal{F} \) 是区域 \( D \subset \mathbb{C} \) 上的一族解析函数。若 \( \mathcal{F} \) 中的任意序列 \( \{f_ n\} \) 都存在子序列 \( \{f_ {n_ k}\} \)，在 \( D \) 的每个紧子集上一致收敛于某个解析函数或发散到无穷，则称 \( \mathcal{F} \) 是正规族。若所有子序列极限均有限（即解析函数），则称为紧正规族。 2. 蒙泰尔定理 蒙泰尔定理是正规族的核心判据：若 \( \mathcal{F} \) 在 \( D \) 上一致有界（即存在 \( M > 0 \) 使得 \( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( f \in \mathcal{F} \) 和 \( z \in D \) 成立），则 \( \mathcal{F} \) 是正规族。证明依赖于阿尔泽拉-阿斯科利定理，通过等度连续性验证函数族的紧性。 3. 正规性与奇点 函数族的正规性可用于分析奇点分布。例如，若函数族在区域上非正规，必存在奇点（如本质奇点）导致函数值剧烈震荡。皮卡定理的证明中利用了正规族理论讨论函数在本质奇点附近的行为。 4. 马蒂定理 马蒂定理推广了蒙泰尔定理：若 \( \mathcal{F} \) 在 \( D \) 上不取三个固定的复数值（即存在互异 \( a, b, c \in \mathbb{C} \) 使得 \( f(z) \notin \{a, b, c\} \) 对所有 \( f \in \mathcal{F} \) 成立），则 \( \mathcal{F} \) 是正规族。这一定理将正规性与函数取值分布联系起来，是值分布理论的重要工具。 5. 应用举例 正规族理论常用于证明唯一性定理或分类函数空间。例如，在复动力系统中，迭代函数族 \( \{f^n\} \) 的正规性用于定义法图集和茹利亚集，其中法图集是使迭代函数族正规的点集，而茹利亚集是其补集，刻画混沌行为。