分析学词条：散度定理 我们先从向量场的概念开始。在三维空间中，一个向量场为一个向量函数 \( \mathbf{F}(x, y, z) \)，它在空间每一点 \( (x, y, z) \) 上都赋予一个向量，例如力场、流速场等。可将其表示为 \( \mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k} \)，其中 \( P, Q, R \) 是坐标的标量函数。 接下来是“通量”的概念。想象一个曲面 \( S \)，流体正以速度场 \( \mathbf{F} \) 流过它。为了度量单位时间内穿过该曲面的流体总量，我们引入通量。数学上，对于曲面上一小块面积 \( dS \)，其单位法向量为 \( \mathbf{n} \)，则穿过该小面积的通量为 \( \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS \)。因此，穿过整个曲面 \( S \) 的总通量由曲面积分给出：\( \iint_ S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS \)。 现在，我们引入“散度”。散度是描述向量场在某点“源”或“汇”强度的标量函数。对于向量场 \( \mathbf{F} = (P, Q, R) \)，其散度定义为： \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \] 直观上，某点散度为正，表示该点是一个“源”（有流体流出）；散度为负，表示是一个“汇”（有流体流入）；散度为零，则表示该点无源无汇。 散度定理（也称为高斯定理）建立了上述两个概念之间的联系。它指出：对于一个空间中的有界区域 \( V \)，其边界为分片光滑的闭曲面 \( S \)（取外侧为单位法向量），则有： \[ \iint_ S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_ V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV \] 这个定理的意义在于，它将一个关于向量场在闭曲面 \( S \) 上的曲面积分（总流出通量），转化为对该曲面所包围的体积 \( V \) 内的一个三重积分（散度的总和）。这极大地简化了计算，因为三重积分通常比曲面积分更容易处理。 为了理解其正确性，可以考虑一个微小的立方体。计算流出这个立方体六个面的净通量，并证明它等于 \( (\nabla \cdot \mathbf{F}) \) 乘以立方体体积。然后，将整个区域 \( V \) 分割成无数个这样的微小立方体，在内部，相邻面的通量会相互抵消，最终只剩下最外层边界曲面 \( S \) 上的通量。将所有微小立方体的结果加起来，就得到了散度定理。 散度定理是向量微积分基本定理在三维空间的推广，与二维的格林定理、更一般情形的斯托克斯定理紧密相关。它在物理学中有极其广泛的应用，例如在静电学中，它是高斯定律的数学基础；在流体力学中，它是连续性方程的积分形式。