圆的渐开线与渐屈线的微分几何关系（续二）
-
曲率中心的几何意义回顾
在圆的渐开线生成过程中，渐屈线（即圆本身）上的每一点是渐开线对应点的曲率中心。具体来说，若圆的半径为 \(R\)，渐开线上任一点 \(P\) 对应的渐屈线点为 \(Q\)（即圆上与展开切线相切的点），则线段 \(PQ\) 的长度等于渐开线在 \(P\) 点的曲率半径 \(\rho\)，且 \(\rho = R \cdot \theta\)（其中 \(\theta\) 为展开角）。 -
曲率半径的微分关系
渐开线的曲率半径 \(\rho\) 随展开角 \(\theta\) 线性增长：
\[ \frac{d\rho}{d\theta} = R. \]
这表明曲率半径的变化率恒为圆的半径，反映了渐开线逐渐“远离”渐屈线的均匀性。
-
渐开线与渐屈线的正交性
渐开线上任一点 \(P\) 的切线方向与线段 \(PQ\)（连接 \(P\) 和曲率中心 \(Q\)）垂直。这是因为 \(PQ\) 是渐开线的法线方向，而渐屈线（圆）在 \(Q\) 点的切线方向与渐开线在 \(P\) 点的切线方向平行，这一性质是渐开线定义的直接推论。 -
曲率中心的轨迹方程
若圆的参数方程为 \((R\cos\theta, R\sin\theta)\)，则渐开线的曲率中心轨迹（即渐屈线）为圆本身。渐开线的曲率中心坐标 \((x_c, y_c)\) 满足：
\[ x_c = R\cos\theta, \quad y_c = R\sin\theta. \]
这一关系揭示了渐屈线是渐开线的曲率中心包络。
-
渐开线曲率的倒数关系
渐开线的曲率 \(\kappa\) 与曲率半径 \(\rho\) 满足 \(\kappa = \frac{1}{\rho} = \frac{1}{R\theta}\)。当 \(\theta \to 0^+\) 时，曲率趋于无穷大（起点为尖点）；当 \(\theta\) 增大时，曲率逐渐减小，渐开线趋于平直。 -
渐屈线作为渐开线的演化极限
若将渐开线视为弹性细绳从圆上解开的过程，渐屈线（圆）是细绳未解开部分的边界，曲率中心 \(Q\) 的移动速度始终与渐开线的法方向一致，这体现了渐屈线指导渐开线形状的动态几何特征。