遍历理论中的随机矩阵 随机矩阵是遍历理论中连接概率论与动力系统的重要工具。它是一个非负矩阵，且每行元素之和为1。在遍历理论中，随机矩阵通常被用作定义马尔可夫链的转移概率矩阵。 1. 基本定义与马尔可夫链 一个随机矩阵 \( P = (p_ {ij}) \) 满足： 对所有 \( i, j \)，有 \( p_ {ij} \geq 0 \)。 对所有 \( i \)，有 \( \sum_ j p_ {ij} = 1 \)。 这个矩阵定义了一个马尔可夫链 \( (X_ n) \) 的状态转移概率：\( \mathbb{P}(X_ {n+1} = j | X_ n = i) = p_ {ij} \)。系统的状态空间是离散的（可数或有限），而动力系统可以看作是状态空间上的移位映射。 2. 不变测度与平稳分布 在遍历理论的框架下，我们需要研究在随机矩阵作用下保持不变的测度。对于一个概率测度 \( \pi \)（在离散状态下是一个概率向量），如果它满足 \( \pi P = \pi \)，即对所有 \( j \)，有 \( \sum_ i \pi(i) p_ {ij} = \pi(j) \)，那么 \( \pi \) 称为该马尔可夫链的平稳分布。从测度论的角度看，\( \pi \) 是动力系统（由转移概率定义）的一个不变测度。 3. 随机矩阵的遍历性 遍历性的核心问题是：时间平均是否等于空间平均？对于随机矩阵定义的马尔可夫链，遍历性通常等价于不可约性和非周期性。 不可约性 ：从任何状态 \( i \) 出发，经过有限步都可以到达任何其他状态 \( j \)（即存在 \( n \) 使得 \( (P^n)_ {ij} > 0 \)）。这保证了状态空间在概率意义下是“连通的”。 非周期性 ：避免了系统在特定周期内循环。严格定义涉及状态周期的最大公约数为1。 当马尔可夫链既不可约又非周期时，它是遍历的：存在唯一的平稳分布 \( \pi \)，并且对任意初始分布 \( \mu \)，有 \( \lim_ {n \to \infty} \mu P^n = \pi \)。这意味着随着时间推移，系统的状态分布会收敛到平稳分布。 4. 转移算子的谱理论 随机矩阵 \( P \) 可以视为状态空间（如 \( \ell^1 \)）上的一个转移算子。其谱性质（特征值的分布）与系统的收敛速度（混合时间）密切相关。特别地，若状态空间有限，则特征值1是单重根（对应平稳分布），而其他特征值的模长小于1。第二大特征值的模长决定了马尔可夫链趋向平稳分布的指数收敛速率。 5. 与保测动力系统的联系 通过自然的方式，一个具有平稳分布 \( \pi \) 的马尔可夫链可以嵌入到一个保测动力系统中。考虑双向无穷序列空间 \( \Omega = S^{\mathbb{Z}} \)（\( S \) 是状态空间），并赋予由转移概率 \( P \) 和平稳分布 \( \pi \) 生成的测度。那么，移位映射 \( \sigma: \Omega \to \Omega \) 定义了一个保测动力系统。此时，关于马尔可夫链的遍历性质可以转化为关于移位映射 \( \sigma \) 的遍历性质。