二次型的自守表示与朗兰兹纲领 我们先从二次型与自守形式的基本关系开始。二次型可以生成模形式，例如，一个正定二次型 \( Q(x_ 1, \dots, x_ k) \) 的表示数生成函数 \( \sum_ {n \geq 0} r_ Q(n) q^n \)（其中 \( q = e^{2\pi i z} \)）是一个权为 \( k/2 \) 的模形式。这个模形式是某个自守形式的特例。 自守形式是定义在特定群（如 \( SL(2, \mathbb{R}) \)）的商空间上的函数，在群作用下具有变换性质。对于 \( GL(2) \)，自守形式对应模形式。每个自守形式 \( \pi \) 可以关联一个L函数 \( L(s, \pi) \)，称为自守L函数，它由 \( \pi \) 的傅里叶系数或Hecke特征定义。 二次型的自守表示指的是：二次型 \( Q \) 的Theta级数对应的模形式 \( f_ Q \) 所实现的自守表示 \( \pi_ Q \)。具体地，\( \pi_ Q \) 是 \( GL(2) \) 或更一般约化群上的一个不可约表示，其L函数 \( L(s, \pi_ Q) \) 与 \( f_ Q \) 的L函数一致。这建立了二次型算术（如表示数）与自守形式解析性质的联系。 朗兰兹纲领是这一联系的深远推广。纲领预测：任何数域上的约化群 \( G \) 的自守表示 \( \pi \) 都对应一个伽罗瓦群表示 \( \rho: \text{Gal}(\bar{K}/K) \to {}^LG \)，使得它们的L函数相等。对于二次型，若 \( Q \) 定义在数域 \( K \) 上，则其自守表示 \( \pi_ Q \) 应对应一个伽罗瓦表示 \( \rho_ Q \)，从而将二次型的算术问题转化为伽罗瓦表示的研究。 例如，二元二次型 \( Q(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 \) 的Theta级数对应一个权1的模形式，其自守表示 \( \pi_ Q \) 的伽罗瓦表示 \( \rho_ Q \) 可由 \( Q \) 的类域论数据构造。朗兰兹纲领在此框架下统一了二次型的表示数、类数等不变量。