博赫纳-里斯公式 我们先从傅里叶级数的部分和开始。对于一个在单位圆周（或等价地，周期为 2π 的周期函数）上可积的函数 f，其傅里叶级数的第 n 个部分和 S_ n(f, θ) 可以表示为狄利克雷核 D_ n 与 f 的卷积： S_ n(f, θ) = (D_ n * f)(θ) = (1/2π) ∫_ {-π}^{π} f(φ) D_ n(θ - φ) dφ 其中狄利克雷核 D_ n(t) = sin((n+1/2)t) / sin(t/2)。 然而，直接研究狄利克雷核的卷积算子在某些函数空间（如 L^1）上的性质是困难的，因为狄利克雷核的 L^1 范数（称为勒贝格常数）随着 n 增大而趋于无穷，这导致了傅里叶级数在 L^1 中可能不收敛。为了克服这个困难，我们引入一种求和方法。 一种重要的求和方法是费耶求和，它使用费耶核，这是一种正核，能保证在 L^p (1 ≤ p < ∞) 空间中的收敛性。但费耶求和是一种线性求和方法。博赫纳-里斯公式则推广了这种思想，引入了一个更一般的参数族，称为里斯平均。 里斯平均的定义依赖于一个实数 α > -1 和一个固定的函数 Λ(t)，该函数在 t=0 附近有特定的渐近行为（通常要求 Λ(0)=1 且足够光滑）。对于傅里叶级数的部分和 S_ n(f)，其 (R, Λ, α) 平均定义为： σ_ n^α(f, θ) = Σ_ {k=0}^{n} A_ {n-k}^{α-1} / A_ n^α Λ(k/n) S_ k(f, θ) 其中 A_ n^α = C(n+α, n) 是二项式系数，当 α > -1 时，A_ n^α ~ n^α / Γ(α+1) (n→∞)。 博赫纳-里斯公式的核心在于，这个抽象的里斯平均可以表示为一个奇异积分算子的形式。具体公式为： σ_ n^α(f, θ) = (1/2π) ∫_ {-π}^{π} f(θ - φ) K_ n^α(φ) dφ 其中积分核 K_ n^α(φ) 称为博赫纳-里斯核。这个核的表达式可以通过生成函数或复积分的方法得到，它通常包含贝塞尔函数等特殊函数。 博赫纳-里斯公式的重要性在于它将序列的变换（里斯平均）与积分核的变换联系起来。通过对核 K_ n^α(φ) 进行精细的渐近分析（例如，使用驻相法或振荡积分理论），我们可以研究里斯平均算子在不同函数空间（如 L^p 空间、哈代空间）上的有界性、收敛性以及逼近阶。 特别地，当参数 α 取特定值时，里斯平均会退化为一些经典的求和方法。例如，当 α=1 且 Λ(t)≡1 时，里斯平均即为费耶平均。当 α 取更大的值时，里斯平均具有更快的收敛速度，但可能对函数的光滑性要求更高。 博赫纳-里斯公式是调和分析中研究逼近论和算子有界性的一个基本工具，它将抽象的级数变换问题转化为更易于分析的奇异积分问题。