随机规划中的风险度量与随机占优 基本概念引入 在随机规划中，目标函数或约束常涉及随机变量（如需求、价格），传统期望值模型（如最小化期望成本）可能忽略决策者对风险的偏好。风险度量是量化随机结果不确定性的工具，例如避免极端损失。常见风险度量包括方差、条件风险值（CVaR）等，而随机占优则用于比较不同随机变量的优劣，考虑整个分布而非单一指标。 风险度量的数学定义 设随机损失函数为 \( Z = f(x, \xi) \)，其中 \( x \) 为决策变量，\( \xi \) 为随机参数。风险度量 \( \rho(Z) \) 需满足一致性条件（如单调性、次可加性）。例如： 方差 ：\( \rho(Z) = \mathbb{E}[ Z ] + \lambda \text{Var}(Z) \)（λ 为风险厌恶系数）； CVaR ：在置信水平 \( \alpha \) 下，\( \text{CVaR} \alpha(Z) = \mathbb{E}[ Z \mid Z \geq \text{VaR} \alpha(Z) ] \)，其中 VaR 是价值-at-风险。 随机占优的层次结构 随机占优分为一阶（FSD）、二阶（SSD）和高阶： FSD ：随机变量 \( X \) 一阶占优 \( Y \) 当且仅当 \( F_ X(t) \leq F_ Y(t) \ \forall t \)，其中 \( F \) 是累积分布函数（CDF），表示 \( X \) 在所有可能取值上均更优； SSD ：针对风险厌恶者，要求 \( \int_ {-\infty}^t F_ X(s) ds \leq \int_ {-\infty}^t F_ Y(s) ds \ \forall t \)，即 \( X \) 的尾部风险更小。 风险度量与随机占优的关联 若随机变量 \( X \) 二阶占优 \( Y \)，则对所有凹递增效用函数（风险厌恶），\( X \) 的期望效用更高。这等价于 \( \mathbb{E}[ X] = \mathbb{E}[ Y ] \) 且 \( X \) 的方差更小，或更一般地，\( \rho(X) \leq \rho(Y) \) 对一类一致性风险度量成立。 在随机规划模型中的应用 将风险度量引入优化问题，如最小化 \( \rho(f(x, \xi)) \) 并满足约束。例如： 风险厌恶型两阶段问题 ： \[ \min_ x \mathbb{E}[ Q(x, \xi)] + \lambda \cdot \text{CVaR}_ \alpha(Q(x, \xi)) \] 其中 \( Q(x, \xi) \) 是第二阶段成本。此类问题常通过采样平均近似（SAA）或对偶变换求解。 实际案例：投资组合优化 假设资产收益随机，用随机占优约束确保投资组合收益优于基准（如市场指数）。模型形式为： \[ \max_ x \mathbb{E}[ \text{收益} ] \quad \text{s.t.} \quad x \text{ 的收益分布 SSD 于指数收益分布} \] 该约束可转化为线性规划问题，通过分段线性化 CDF 实现。 扩展与挑战 动态风险度量（如多阶段条件风险度量）和分布鲁棒优化结合随机占优是前沿方向。计算难点在于随机占优约束的非线性，需用近似方法（如矩约束或场景树）降低复杂度。