数值双曲型方程的离散纵标法 离散纵标法是一种用于求解辐射输运方程或中子输运方程等线性玻尔兹曼方程的数值技术。这类方程描述了粒子（如光子、中子）在介质中输运的微观行为，具有双曲型特征。该方法的核心思想是将连续的粒子运动方向离散化，从而将积分-微分方程转化为一组耦合的双曲型偏微分方程。 第一步：理解辐射输运方程 辐射输运方程描述了粒子在相空间（位置、方向、能量、时间）中的分布函数随时间的演化。其稳态、单能、无散射的简化形式为： Ω ⋅ ∇ψ(r, Ω) + Σₜ(r)ψ(r, Ω) = Q(r, Ω) 其中： ψ(r, Ω) 是角通量，表示在位置 r 处沿单位方向 Ω 运动的粒子强度。 Ω ⋅ ∇ 是方向导数，表示粒子沿 Ω 方向的输运。 Σₜ(r) 是宏观总截面，表示粒子在介质中发生相互作用的概率。 Q(r, Ω) 是源项。 这个方程本质上是双曲型的，因为方向导数 Ω ⋅ ∇ 定义了一个特征方向。 第二步：方向变量的离散化 输运方程求解的主要困难在于方向变量 Ω 是连续的（一个单位球面上的点）。离散纵标法通过选择一组有限的离散方向 {Ωₘ} (m = 1, 2, ..., M) 和对应的权重 {wₘ} 来近似连续的角通量。这类似于数值积分中的求积法（例如高斯求积法）。原本连续的角通量 ψ(r, Ω) 被一组离散的角通量 ψₘ(r) = ψ(r, Ωₘ) 所取代。 第三步：建立离散纵标方程 将离散方向代入原方程，对每个离散方向 m，我们得到一个独立的双曲型偏微分方程： Ωₘ ⋅ ∇ψₘ(r) + Σₜ(r)ψₘ(r) = Qₘ(r) 然而，在更一般的有散射情况下，源项 Q 会包含一个积分项 ∫ ψ(r, Ω') Σₛ(Ω' → Ω) dΩ'，其中 Σₛ 是散射截面。这个积分项现在通过我们选择的离散方向和权重进行数值求积近似： ∫ ψ(r, Ω') Σₛ(Ω' → Ωₘ) dΩ' ≈ Σₙ wₙ ψₙ(r) Σₛ(Ωₙ → Ωₘ) 这样，原本的积分-微分方程就转化为一个由 M 个相互耦合的双曲型方程构成的方程组。每个方程描述了粒子在某个特定离散方向上的输运过程。 第四步：空间离散与求解 在完成了方向离散后，我们得到了一个关于空间变量 r 的偏微分方程组。接下来需要对这个方程组进行空间离散。常用的方法包括： 有限差分法 ：在结构化网格上近似方向导数 Ωₘ ⋅ ∇。 有限体积法 ：尤其适用于复杂几何，通过积分在控制体上并数值通量计算。 求解这个大型稀疏线性方程组通常采用源迭代法（也称为逐次散射法）。由于方向间的耦合（通过散射项），迭代过程是必要的：从一个初始猜测（如零通量）开始，计算所有方向上的通量，然后用新通量更新散射源项，重复直至收敛。 第五步：优缺点与应用 优点 ：将复杂的积分-微分方程转化为相对标准的双曲型方程组，概念清晰。可以系统性地通过增加离散方向数目（提高求积阶）来提升精度。 缺点 ：存在"射线效应"。由于方向是离散的，在远离源的地方，通量解可能呈现不真实的非物理条纹，这是因为连续分布的粒子被有限条"射线"所替代。缓解方法包括使用更高阶的求积集或采用其他技巧。 应用 ：该方法广泛应用于核反应堆物理（中子输运）、天体物理（辐射流体力学）、医学物理（辐射治疗计划）等领域。