代数簇的典范层 代数簇的典范层是代数几何中研究簇的微分形式和上同调结构的重要工具。它通过层论的语言，将典范除子、微分形式等概念系统化，并为研究簇的几何性质（如奇点、分类问题）提供统一框架。 1. 预备知识回顾 代数簇的微分形式 ：在光滑代数簇 \( X \) 上，可定义微分形式层 \( \Omega_ X^1 \)（1-形式层）及其外积 \( \Omega_ X^k = \wedge^k \Omega_ X^1 \)（k-形式层）。 典范除子 ：若 \( X \) 是 n 维光滑簇，则层 \( \omega_ X = \Omega_ X^n \)（n-形式层）称为 典范层 ，其对应的除子 \( K_ X \) 即典范除子（局部生成元的零点或极点定义）。 2. 奇异情形的推广 当 \( X \) 非光滑时，\( \Omega_ X^n \) 可能不再具有良好的性质（如局部自由性）。为此需要构造 典范层 \( \omega_ X \)，满足： 在光滑处 \( \omega_ X \simeq \Omega_ X^n \)； 在奇点处仍能反映簇的“微分形式本质”，例如满足对偶性质。 3. 典范层的定义与性质 定义 ：典范层是 \( X \) 上凝聚层 \( \omega_ X \)，使得在任意仿射开集 \( U = \operatorname{Spec} R \) 上，\( \omega_ X|_ U \) 对应模 \( \omega_ R \)（称为 典范模 ），满足 Serre 对偶 ：对任意凝聚层 \( \mathcal{F} \)，有同构 \[ \operatorname{Ext}^i(\mathcal{F}, \omega_ X) \simeq H^{n-i}(X, \mathcal{F})^* \] 当 \( X \) 是射影簇时成立。 存在性 ：若 \( X \) 是戈伦斯坦（Gorenstein）簇（如光滑簇或完全交奇点），则 \( \omega_ X \) 是局部自由层，对应线丛。 4. 典范层的计算与例子 仿射空间 ：\( \mathbb{A}^n \) 的典范层为 \( \omega_ {\mathbb{A}^n} = \mathcal{O}_ {\mathbb{A}^n} dx_ 1 \wedge \dots \wedge dx_ n \)。 超曲面 ：若 \( X = V(f) \subset \mathbb{A}^n \) 为光滑超曲面，则 \[ \omega_ X \simeq \mathcal{O}_ X \cdot \frac{dx_ 1 \wedge \dots \wedge dx_ n}{df} \] 其中分母表示形式上的符号运算，实质是余法丛的对偶。 射影空间 ：\( \mathbb{P}^n \) 的典范层为 \( \omega_ {\mathbb{P}^n} \simeq \mathcal{O}_ {\mathbb{P}^n}(-n-1) \)。 5. 应用与推广 奇点分类 ：通过典范层的性质（如是否为线丛）可区分奇点类型（戈伦斯坦、有理奇点等）。 对偶定理 ：典范层是广义 Serre 对偶的核心，联系上同调群与 Ext 群。 相对情形 ：在态射 \( f: X \to Y \) 中，可定义 相对典范层 \( \omega_ {X/Y} \)，用于研究纤维的几何结构。 通过典范层，代数几何中的对偶理论、奇点理论以及模空间问题得以统一处理，成为现代代数几何的基石之一。