代数簇的相交重数

代数簇的相交重数是代数几何中一个精细的、用于描述两个或多个子簇在交点处“接触”程度的数值不变量。它比简单地计算交点个数更为深刻。

1. 直观背景与动机

   • 考虑平面上的两条曲线。它们可能简单地横截相交（如两条直线相交于一点），此时我们称相交数是1。
   • 但它们也可能相切（如一条直线与一个圆相切），此时在切点处，两条曲线“接触”得更紧密。如果只计算交点个数，我们可能会丢失这种“紧密接触”的信息。
   • 相交重数的概念就是为了量化这种接触的紧密程度。在相切的例子中，虽然只有一个几何交点，但我们赋予该点一个大于1的相交重数，以反映其非横截的本质。

2. 仿射情形的定义：长度

• 我们从最简单的仿射情形开始。设 \(X\) 和 \(Y\) 是仿射空间 \(\mathbb{A}^n\) 中的两个代数子簇，它们相交于一个点 \(P\)。
• 设 \(I(X)\) 和 \(I(Y)\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 的定义理想，它们都是多项式环 \(k[x_1, \dots, x_n]\) 中的理想。
• 我们考虑理想的和 \(I(X) + I(Y)\)。这个理想定义了子簇 \(X \cap Y\)。
• 在交点 \(P\) 处，我们考察局部环。设 \(\mathfrak{m}_P\) 是多项式环在点 \(P\) 处的极大理想（即所有在 \(P\) 处为零的多项式生成的理想）。
• 相交重数 \(i(P; X \cdot Y)\) 定义为某个局部环作为模的长度：

\[ i(P; X \cdot Y) = \text{length}_{\mathcal{O}_{P, \mathbb{A}^n}} \left( \frac{\mathcal{O}_{P, \mathbb{A}^n}}{I(X)_P + I(Y)_P} \right) \]

• 这里，\(\mathcal{O}_{P, \mathbb{A}^n}\) 是仿射空间在点 \(P\) 处的局部环，\(I(X)_P\) 和 \(I(Y)_P\) 是理想 \(I(X)\) 和 \(I(Y)\) 在该局部环中的扩张。
  • 长度的概念：一个模的长度是指其合成列的最长长度。直观上，它可以衡量这个模的“复杂程度”。如果上述商模是有限长度的，那么这个长度就是一个正整数，它就是相交重数。

3. 射影情形的推广

• 上述定义可以推广到射影代数簇 \(X, Y \subset \mathbb{P}^n\) 的相交。
• 基本思想是类似的：在交点 \(P\) 处，考虑 \(X\) 和 \(Y\) 在 \(P\) 点局部环中的定义理想，然后计算相应商模的长度。
• 更一般地，如果 \(X\) 和 \(Y\) 是光滑簇 \(M\) 的子簇，且它们在连通分支 \(Z\) 上正常相交（即 \(X\) 和 \(Y\) 在 \(Z\) 上的法丛序列是正合的），则相交重数可以沿着整个交点分支 \(Z\) 定义。

4. 相交重数的基本性质
   • 非负性：相交重数总是非负整数。

• 非退化情形的平凡性：如果 \(X\) 和 \(Y\) 在点 \(P\) 处横截相交（即它们的切空间张成整个环境空间的切空间），那么相交重数 \(i(P; X \cdot Y) = 1\)。
• 加法性：如果交点 \(X \cap Y\) 在点 \(P\) 处有多个分支，则整体相交数等于各分支上相交重数的和。
• 贝祖定理的推广：在射影平面上，贝祖定理指出，两条次数分别为 \(d\) 和 \(e\) 的曲线，在计算重数的情况下，恰有 \(d \cdot e\) 个交点。这里的“重数”就是相交重数。

5. 与塞尔公式的联系
   • 相交重数的概念可以纳入更一般的塞尔相交公式的框架中。

• 塞尔公式将两个子簇 \(X\) 和 \(Y\) 的相交类（在周环或上同调环中）与它们的理想层相关联。
• 具体地，如果 \(X\) 和 \(Y\) 是光滑簇 \(M\) 的闭子簇，且它们沿交集 \(Z = X \cap Y\) 是正常相交的，那么有公式：

\[ [X] \cdot [Y] = \sum_{Z_i} i(Z_i; X \cdot Y) [Z_i] \]

其中求和跑过 \(Z\) 的所有不可约分支 \(Z_i\)，\(i(Z_i; X \cdot Y)\) 是沿着分支 \(Z_i\) 的相交重数，\([X], [Y], [Z_i]\) 是相应的周环中的类。这个公式将抽象的环运算与具体的几何相交联系了起来。