索末菲-库默尔函数的合流超几何函数表示 基础概念：合流超几何方程 合流超几何方程是二阶线性常微分方程，标准形式为： \( z \frac{d^2 w}{dz^2} + (c - z) \frac{dw}{dz} - a w = 0 \)， 其中 \(a\) 和 \(c\) 为复参数，\(z\) 为复变量。该方程有两个奇点：正则奇点 \(z=0\) 和非正则奇点 \(z=\infty\)，其解称为合流超几何函数（或库默尔函数）。 第一类合流超几何函数 \(M(a,c,z)\) 当 \(c \notin \mathbb{Z} {\leq 0}\) 时，方程在 \(z=0\) 附近的一个解是库默尔函数： \( M(a,c,z) = \sum {n=0}^{\infty} \frac{(a)_ n}{(c)_ n n !} z^n \)， 其中 \((a)_ n = a(a+1)\cdots(a+n-1)\) 为珀赫哈默尔符号（升阶乘）。此级数在全复平面收敛，是整函数。 第二类合流超几何函数 \(U(a,c,z)\) 当 \(c \notin \mathbb{Z}\) 时，第二解可表示为： \( U(a,c,z) = \frac{\Gamma(1-c)}{\Gamma(a-c+1)} M(a,c,z) + \frac{\Gamma(c-1)}{\Gamma(a)} z^{1-c} M(a-c+1,2-c,z) \)。 此函数在 \(z=0\) 处有分支点，通常沿负实轴割开复平面，是多值函数。 与索末菲-库默尔函数的关系 索末菲-库默尔函数 \(F_ {\nu}(z)\) 和 \(G_ {\nu}(z)\) 是 Whittaker 函数的特例，而 Whittaker 函数可通过合流超几何函数表示： \( M_ {\kappa,\mu}(z) = z^{\mu+\frac{1}{2}} e^{-z/2} M\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 2\mu+1, z\right) \)， \( W_ {\kappa,\mu}(z) = z^{\mu+\frac{1}{2}} e^{-z/2} U\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 2\mu+1, z\right) \)。 通过参数替换（如 \(\kappa = \nu/2, \mu = \nu/2\)），可建立索末菲-库默尔函数与 \(M, U\) 的显式联系。 渐近行为与物理应用 当 \(|z| \to \infty\) 时： \(M(a,c,z) \sim \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)} e^z z^{a-c} [ 1+O(|z|^{-1}) ] \)（\(\Re z > 0\)）， \(U(a,c,z) \sim z^{-a} [ 1+O(|z|^{-1})] \)（\(|\arg z| < \pi\)）。 这种渐近形式在波传播问题中区分入射波与出射波，例如在索末菲辐射条件中，\(U\) 的衰减性用于描述向外辐射的解。