二次型的自守L函数与朗兰兹纲领 二次型与自守形式回顾 二次型是齐次二次多项式，例如 \( Q(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 \)。通过研究其傅里叶展开的Theta级数 \( \theta_ Q(z) = \sum_ {n \geq 0} r_ Q(n) e^{2\pi i n z} \)（其中 \( r_ Q(n) \) 表示整数表示数），可将其与模形式关联。模形式是复平面上的全纯函数，满足特定函数方程。 自守L函数的定义 对每个模形式 \( f(z) = \sum_ {n \geq 0} a_ n e^{2\pi i n z} \)，其狄利克雷级数 \( L(f,s) = \sum_ {n \geq 1} \frac{a_ n}{n^s} \) 称为自守L函数。当 \( f \) 来源于二次型的Theta级数时，\( L(f,s) \) 编码了二次型的算术信息（如表示数分布）。 局部-全局原理与哈塞-韦伊L函数 对于二次型定义的代数簇（如椭圆曲线），哈塞-韦伊L函数统一了所有素数 \( p \) 的局部因子： \[ L(s) = \prod_ p L_ p(s), \quad L_ p(s) = \frac{1}{\det(1 - p^{-s} \mathrm{Frob} p | H {\text{ét}})} \] 其中 \( \mathrm{Frob}_ p \) 是弗罗贝尼乌斯作用在étale上同调群上。二次型的自守L函数可视为此类L函数的特例。 朗兰兹纲领的核心猜想 朗兰兹纲领提出：所有源自代数几何的L函数（如哈塞-韦伊L函数）均等于某个自守形式的L函数。具体到二次型，即要求二次型对应的L函数是某个自守形式 \( f \) 的L函数，且满足函数方程 \( \Lambda(s) = \varepsilon \Lambda(1-s) \)，其中 \( \Lambda(s) \) 是完备L函数。 应用示例：表示数的渐近公式 若二次型 \( Q \) 的Theta级数对应模形式 \( f \)，则通过L函数的解析性质（如极点的阶数），可推导出表示数 \( r_ Q(n) \) 的渐近公式： \[ r_ Q(n) \sim C \cdot n^{k/2-1} \quad (n \to \infty) \] 其中 \( k \) 是模形式的权，\( C \) 为常数，这体现了自守L函数如何揭示二次型的算术规律。 现代进展：志村簇与互反律 朗兰兹纲领的高维推广涉及志村簇（Shimura variety），其点集参数化特定阿贝尔簇。二次型对应的L函数可通过志村簇的上同调实现自守性，这一过程称为“互反律”，是连接代数几何与自守形式的桥梁。