代数簇的Chow群
字数 2345 2025-11-03 12:22:11

代数簇的Chow群

代数簇的Chow群是代数几何中的一个核心不变量，它将拓扑学中的同调群的思想推广到代数簇上。简单来说，它为我们提供了一种方法，用代数的方式（即通过子簇）来“切割”和研究代数簇的几何结构。

第一步：基本动机——从拓扑到代数

在拓扑学中，对于一个拓扑空间（例如一个曲面），我们可以研究其上的“圈”，比如闭合曲线。一维同调群就是通过考虑这些闭合曲线（一维圈）的等价类来定义的，其中两个圈如果共同构成某个曲面的边界，就被认为是等价的。这帮助我们理解空间中有多少“洞”。

在代数几何中，我们研究的主要对象是代数簇（由多项式方程定义的几何图形）。我们希望为代数簇定义一个类似的“圈”的理论，但这里所说的“圈”应该是代数簇的子系统，也就是由更多多项式方程定义的子簇。然而，直接模仿拓扑定义会遇到困难，因为代数几何中缺乏“边界”的直观概念。Chow群就是为了解决这个问题而发明的。

第二步：循环群——定义“圈”的候选者

首先，我们需要一个群来容纳所有可能的“圈”。设 \(X\) 是一个代数簇（或更一般的概形）。对于任意一个非负整数 \(p\)，我们定义第 \(p\) 次循环群 \(Z_p(X)\)。

  • 这个群的元素是形式线性组合，形如 \(\sum_i n_i [V_i]\)。
  • 其中，\(V_i\) 是 \(X\) 上的 \(p\) 维不可约闭子簇（即不能被分解为更小的闭子簇的并）。
  • \(n_i\) 是整数。这些整数可以理解为子簇 \(V_i\) 的“重数”。
  • 这样的一个形式线性组合被称为一个 \(p\) 次循环。它可以被想象为由一些 \(p\) 维子簇以一定的整数权重组成的“链”。

所有这样的 \(p\) 次循环在加法运算下构成了一个阿贝尔群，记作 \(Z_p(X)\)。这就是我们的“圈”的候选集合。

第三步：有理等价——定义“圈”的等价关系

在拓扑同调中，两个圈如果它们的差是一个边界，则被认为是等价的。在Chow理论中，对应的关键概念是“有理等价”。

直观理解：我们说两个 \(p\) 维子簇 \(V\) 和 \(W\) 是有理等价的，如果存在一个“连通的族”使得 \(V\) 和 \(W\) 都是这个族的成员。更精确地说，应该存在一个 \((p+1)\) 维的子簇 \(Y \subset X \times \mathbb{P}^1\)（其中 \(\mathbb{P}^1\) 是射影直线），使得当限制在 \(\mathbb{P}^1\) 的某两个点（比如 \(0\) 和 \(\infty\) ）时，我们分别得到 \(V\) 和 \(W\)（计算重数）。也就是说，\(V\) 和 \(W\) 可以通过一个代数族相互变形得到。

我们将这个有理等价关系推广到整个循环群 \(Z_p(X)\) 上。具体地，我们考虑 \(Z_p(X)\) 的一个子群 \(R_p(X)\)，它由所有形如 \([\mathrm{div}(f)]\) 的循环生成，其中：

  • \(f\) 是某个 \((p+1)\) 维子簇 \(Y\) 上的非零有理函数。
  • \(\mathrm{div}(f)\) 是 \(f\) 的除子，它描述了 \(f\) 的零点和极点（带重数），这是一个 \(p\) 维的循环。

第四步：Chow群的定义

现在，我们将循环群模掉有理等价关系，就得到了Chow群。

第 \(p\) 次Chow群 \(A_p(X)\) 定义为：

\[A_p(X) = Z_p(X) / R_p(X) \]

换句话说，\(A_p(X)\) 的元素就是 \(p\) 次循环的有理等价类。两个循环 \(z_1\) 和 \(z_2\) 在 \(A_p(X)\) 中代表同一个元素，当且仅当它们的差 \(z_1 - z_2\) 属于 \(R_p(X)\)，即它们是有理等价的。

我们通常也按余维数（\(\mathrm{codim} = \dim X - p\)）来标记Chow群，记作 \(A^k(X)\)，其中 \(k\) 是余维数。

第五步：基本性质与几何意义

  1. 函子性：如果一个态射 \(f: X \to Y\) 是平坦的，那么我们可以将 \(X\) 上的子簇“推前”到 \(Y\) 上，这诱导了一个同态 \(f_*: A_p(X) \to A_p(Y)\)。如果一个态射 \(g: Y \to X\) 是正则嵌入（如子簇包含），那么我们可以将 \(Y\) 上的子簇“拉回”到 \(X\) 上，这诱导了一个同态 \(g^*: A_p(X) \to A_p(Y)\)。这使得Chow群成为一个函子。

  2. Chow环结构：当 \(X\) 是光滑簇时，不同维数的Chow群之间可以定义一种称为“相交”的乘法运算。直观上，两个子簇的相交类就是它们“一般平移”后相交的类。这个运算使直和 \(A^*(X) = \oplus_k A^k(X)\) 成为一个分次交换环，称为 \(X\) 的Chow环。这极大地丰富了Chow群的结构，使其成为研究代数簇的强有力的工具。

总结

Chow群 \(A_p(X)\) 通过“模掉有理等价”这一精妙的代数等价关系，成功地将子簇（循环）转化为一个良定义的阿贝尔群（或环）。它深刻地反映了代数簇的几何性质，是连接代数几何与拓扑学、微分几何等领域的重要桥梁。

代数簇的Chow群 代数簇的Chow群是代数几何中的一个核心不变量，它将拓扑学中的同调群的思想推广到代数簇上。简单来说，它为我们提供了一种方法，用代数的方式（即通过子簇）来“切割”和研究代数簇的几何结构。 第一步：基本动机——从拓扑到代数 在拓扑学中，对于一个拓扑空间（例如一个曲面），我们可以研究其上的“圈”，比如闭合曲线。一维同调群就是通过考虑这些闭合曲线（一维圈）的等价类来定义的，其中两个圈如果共同构成某个曲面的边界，就被认为是等价的。这帮助我们理解空间中有多少“洞”。 在代数几何中，我们研究的主要对象是代数簇（由多项式方程定义的几何图形）。我们希望为代数簇定义一个类似的“圈”的理论，但这里所说的“圈”应该是代数簇的子系统，也就是由更多多项式方程定义的子簇。然而，直接模仿拓扑定义会遇到困难，因为代数几何中缺乏“边界”的直观概念。Chow群就是为了解决这个问题而发明的。 第二步：循环群——定义“圈”的候选者 首先，我们需要一个群来容纳所有可能的“圈”。设 \( X \) 是一个代数簇（或更一般的概形）。对于任意一个非负整数 \( p \)，我们定义第 \( p \) 次循环群 \( Z_ p(X) \)。 这个群的元素是形式线性组合，形如 \( \sum_ i n_ i [ V_ i ] \)。 其中，\( V_ i \) 是 \( X \) 上的 \( p \) 维不可约闭子簇（即不能被分解为更小的闭子簇的并）。 \( n_ i \) 是整数。这些整数可以理解为子簇 \( V_ i \) 的“重数”。 这样的一个形式线性组合被称为一个 \( p \) 次循环。它可以被想象为由一些 \( p \) 维子簇以一定的整数权重组成的“链”。 所有这样的 \( p \) 次循环在加法运算下构成了一个阿贝尔群，记作 \( Z_ p(X) \)。这就是我们的“圈”的候选集合。 第三步：有理等价——定义“圈”的等价关系 在拓扑同调中，两个圈如果它们的差是一个边界，则被认为是等价的。在Chow理论中，对应的关键概念是“有理等价”。 直观理解：我们说两个 \( p \) 维子簇 \( V \) 和 \( W \) 是有理等价的，如果存在一个“连通的族”使得 \( V \) 和 \( W \) 都是这个族的成员。更精确地说，应该存在一个 \( (p+1) \) 维的子簇 \( Y \subset X \times \mathbb{P}^1 \)（其中 \( \mathbb{P}^1 \) 是射影直线），使得当限制在 \( \mathbb{P}^1 \) 的某两个点（比如 \( 0 \) 和 \( \infty \) ）时，我们分别得到 \( V \) 和 \( W \)（计算重数）。也就是说，\( V \) 和 \( W \) 可以通过一个代数族相互变形得到。 我们将这个有理等价关系推广到整个循环群 \( Z_ p(X) \) 上。具体地，我们考虑 \( Z_ p(X) \) 的一个子群 \( R_ p(X) \)，它由所有形如 \( [ \mathrm{div}(f) ] \) 的循环生成，其中： \( f \) 是某个 \( (p+1) \) 维子簇 \( Y \) 上的非零有理函数。 \( \mathrm{div}(f) \) 是 \( f \) 的除子，它描述了 \( f \) 的零点和极点（带重数），这是一个 \( p \) 维的循环。 第四步：Chow群的定义 现在，我们将循环群模掉有理等价关系，就得到了Chow群。 第 \( p \) 次Chow群 \( A_ p(X) \) 定义为： \[ A_ p(X) = Z_ p(X) / R_ p(X) \] 换句话说，\( A_ p(X) \) 的元素就是 \( p \) 次循环的有理等价类。两个循环 \( z_ 1 \) 和 \( z_ 2 \) 在 \( A_ p(X) \) 中代表同一个元素，当且仅当它们的差 \( z_ 1 - z_ 2 \) 属于 \( R_ p(X) \)，即它们是有理等价的。 我们通常也按余维数（\( \mathrm{codim} = \dim X - p \)）来标记Chow群，记作 \( A^k(X) \)，其中 \( k \) 是余维数。 第五步：基本性质与几何意义 函子性 ：如果一个态射 \( f: X \to Y \) 是平坦的，那么我们可以将 \( X \) 上的子簇“推前”到 \( Y \) 上，这诱导了一个同态 \( f_ : A_ p(X) \to A_ p(Y) \)。如果一个态射 \( g: Y \to X \) 是正则嵌入（如子簇包含），那么我们可以将 \( Y \) 上的子簇“拉回”到 \( X \) 上，这诱导了一个同态 \( g^ : A_ p(X) \to A_ p(Y) \)。这使得Chow群成为一个函子。 Chow环结构 ：当 \( X \) 是光滑簇时，不同维数的Chow群之间可以定义一种称为“相交”的乘法运算。直观上，两个子簇的相交类就是它们“一般平移”后相交的类。这个运算使直和 \( A^* (X) = \oplus_ k A^k(X) \) 成为一个分次交换环，称为 \( X \) 的Chow环。这极大地丰富了Chow群的结构，使其成为研究代数簇的强有力的工具。 总结 Chow群 \( A_ p(X) \) 通过“模掉有理等价”这一精妙的代数等价关系，成功地将子簇（循环）转化为一个良定义的阿贝尔群（或环）。它深刻地反映了代数簇的几何性质，是连接代数几何与拓扑学、微分几何等领域的重要桥梁。