热传导方程的格林函数解法
好的，我们开始学习“热传导方程的格林函数解法”。这是一种求解非齐次热传导方程或带有初始/边界条件的齐次方程的强大且系统的方法。它将偏微分方程的求解转化为对一个特定函数（即格林函数）的积分运算。
第一步：问题的引入——为什么需要格林函数？
我们考虑一维空间中的非齐次热传导方程：
\[\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x, t), \quad x \in \mathbb{R}, \quad t > 0 \]
其中：
- \(u(x, t)\) 是我们要求解的未知函数（例如温度分布）。
- \(\alpha > 0\) 是热扩散系数。
- \(f(x, t)\) 是已知的源项或汇项（例如热源）。
同时，我们给定一个初始条件：
\[u(x, 0) = \phi(x) \]
对于齐次方程（\(f(x, t) = 0\)），我们可以用傅里叶变换等方法求解。但当存在复杂源项 \(f(x, t)\) 或复杂的边界条件时，直接求解变得困难。格林函数法的核心思想是：
将任意源项 \(f(x, t)\) 和初始条件 \(\phi(x)\) 看作是许多“点源”效应的叠加。如果我们能先求出由一个“瞬时点源”所产生的响应，那么整个问题的解就是所有这些点源响应的叠加（积分）。
这个对“瞬时点源”的响应函数，就是格林函数 \(G(x, t; \xi, \tau)\)。
第二步：定义热传导方程的格林函数
格林函数 \(G(x, t; \xi, \tau)\) 的物理意义非常明确：它表示在位置 \(\xi\) 和时刻 \(\tau\) 施加一个单位瞬时点热源，在位置 \(x\) 和后续时刻 \(t\) (\(t > \tau\)) 所产生的温度场。
数学上，它满足以下偏微分方程：
\[\frac{\partial G}{\partial t} - \alpha \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = \delta(x - \xi) \delta(t - \tau) \]
其中 \(\delta\) 是狄拉克δ函数。\(\delta(x-\xi)\) 表示点源位于 \(x=\xi\)，\(\delta(t-\tau)\) 表示源在 \(t=\tau\) 瞬间起作用。
对于无限大空间（无边界）的情况，我们要求解的就是这个方程，并附加上一个“初始”条件（实际上是 \(t < \tau\) 时的条件）：
\[G(x, t; \xi, \tau) = 0 \quad \text{当} \quad t < \tau \]
这个条件体现了因果律：在点源发生作用之前，系统中处处没有由该源引起的响应。
第三步：求解无限大空间的格林函数
我们求解上述定义在整条实轴 \(-\infty < x < \infty\) 上的格林函数。由于方程在空间上是平移不变的（系数是常数），格林函数实际上只依赖于相对距离 \(x - \xi\)。我们可以通过傅里叶变换来求解。
- 对空间变量 \(x\) 进行傅里叶变换：
定义变换 \(\hat{G}(k, t; \xi, \tau) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x, t; \xi, \tau) e^{-ikx} dx\)。方程变为：
\[ \frac{\partial \hat{G}}{\partial t} + \alpha k^2 \hat{G} = e^{-ik\xi} \delta(t - \tau) \]
这是一个关于时间 \(t\) 的一阶常微分方程。
- 求解傅里叶空间中的方程：
对于 \(t \neq \tau\)，方程是齐次的，解为 \(\hat{G} \propto e^{-\alpha k^2 t}\)。
利用 \(t < \tau\) 时 \(G=0\) 的条件，以及 \(t = \tau\) 时刻的δ函数源，我们可以得到解：
\[ \hat{G}(k, t; \xi, \tau) = e^{-ik\xi} e^{-\alpha k^2 (t - \tau)} H(t - \tau) \]
其中 \(H(t-\tau)\) 是单位阶跃函数，确保因果性。
- 进行傅里叶逆变换：
我们现在需要计算 \(G(x, t; \xi, \tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{G}(k, t; \xi, \tau) e^{ikx} dk\)。
\[ G(x, t; \xi, \tau) = \frac{H(t-\tau)}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x-\xi)} e^{-\alpha k^2 (t-\tau)} dk \]
这个积分是一个高斯积分。利用公式 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a k^2} e^{i\beta k} dk = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-\beta^2/(4a)}\)，我们得到最终结果：
\[ G(x, t; \xi, \tau) = \frac{H(t-\tau)}{\sqrt{4\pi \alpha (t-\tau)}} \exp\left( -\frac{(x-\xi)^2}{4\alpha (t-\tau)} \right) \]
这就是无限大空间热传导方程的基本解或热核。它本身就是一个均值为 \(\xi\)、方差为 \(2\alpha (t-\tau)\) 的高斯分布（正态分布），随着时间推移不断扩散。
第四步：利用格林函数构造一般问题的解
现在我们回到原始问题：
\[\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x, t), \quad u(x, 0) = \phi(x) \]
其解可以由格林函数表示为：
\[u(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x, t; \xi, 0) \phi(\xi) d\xi + \int_{0}^{t} \int_{-\infty}^{\infty} G(x, t; \xi, \tau) f(\xi, \tau) d\xi d\tau \]
让我们仔细分析这个解的物理意义和数学构成：
- 第一项：来自初始条件的贡献
\[ \int_{-\infty}^{\infty} G(x, t; \xi, 0) \phi(\xi) d\xi \]
这一项描述了初始温度分布 \(\phi(x)\) 的演化。它将初始分布分解为无数个位于 \(\xi\) 的“点源” \(\phi(\xi) \delta(x-\xi)\)，每个点源按照格林函数（热核）的规律扩散，然后将所有这些扩散后的分布叠加（积分）起来。代入我们求得的格林函数，这就是大家熟悉的齐次热传导方程的解：
\[ u_{\text{initial}}(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi \alpha t}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(\xi) \exp\left( -\frac{(x-\xi)^2}{4\alpha t} \right) d\xi \]
- 第二项：来自源项的贡献
\[ \int_{0}^{t} \int_{-\infty}^{\infty} G(x, t; \xi, \tau) f(\xi, \tau) d\xi d\tau \]
这一项描述了热源 \(f(x, t)\) 的影响。它将连续作用的源项 \(f(\xi, \tau)\) 分解为无数个在位置 \(\xi\) 和时刻 \(\tau\) 的“瞬时点源” \(f(\xi, \tau) \delta(x-\xi) \delta(t-\tau)\)。每个这样的点源从 \(\tau\) 时刻开始，按照格林函数的规律扩散到 \(t\) 时刻。然后我们对所有可能的位置 \(\xi\) 和作用时刻 \(\tau\) (\(0 < \tau < t\)) 进行叠加（积分）。
第五步：推广到有界区域
对于有界区域（例如一根有限长的杆），格林函数解法同样适用，但求解过程更为复杂。关键在于格林函数必须满足特定的边界条件（如狄利克雷边界条件 \(u=0\) 或诺伊曼边界条件 \(\partial u/\partial n=0\)）。
求解有界区域格林函数的方法通常包括：
- 镜像法：为了满足边界条件，在物理区域外引入“镜像源”，将问题转化为一个等效的无限大问题。例如，对于 \(x=0\) 处温度为0的边界，需要在 \(-\xi\) 处设置一个负的镜像源来抵消原源在边界上的影响。
- 分离变量法：将格林函数按该区域上拉普拉斯算符的本征函数系展开（例如傅里叶级数），从而将偏微分方程转化为本征函数空间中的常微分方程。
最终，解的构造形式与无限大区域类似，仍然是对初始条件和源项与格林函数做积分，但积分区域变为有限区间，并且格林函数 \(G(x, t; \xi, \tau)\) 具有更复杂的形式，它自动蕴含了边界条件的信息。
总结
热传导方程的格林函数解法提供了一种模块化、普适性的求解框架：
- 核心是求解一个针对瞬时点源的辅助问题，得到格林函数。
- 原理是线性叠加原理，将复杂的输入（初始条件、源项）分解为点源的线性组合。
- 操作是将解表示为格林函数与输入函数的卷积积分。
- 优势在于一旦求出特定区域和边界条件下的格林函数，就可以用统一的公式解决该区域内的所有同类问题，无论源项 \(f(x, t)\) 和初始条件 \(\phi(x)\) 多么复杂。
这种方法不仅适用于热传导方程，也广泛应用于波动方程、泊松方程等众多线性偏微分方程中。