复变函数的解析函数项级数与一致收敛性 我们先从基础概念开始。一个复变函数的函数项级数是指一系列复变函数 \( f_ n(z) \) 的和： \[ \sum_ {n=1}^{\infty} f_ n(z) = f_ 1(z) + f_ 2(z) + \cdots \] 对于区域 \( D \) 内的每一点 \( z \)，如果部分和 \( S_ N(z) = \sum_ {n=1}^{N} f_ n(z) \) 当 \( N \to \infty \) 时收敛到一个极限值 \( S(z) \)，则称该级数在 \( D \) 上逐点收敛，和函数为 \( S(z) \)。 但逐点收敛不足以保留函数的良好性质（如连续性、可微性）。为此，我们引入更强的收敛概念：一致收敛。如果对任意 \( \epsilon > 0 \)，存在只依赖于 \( \epsilon \) 的正整数 \( N \)，使得当 \( n > N \) 时，对 所有 \( z \in D \) 都有 \[ \left| S(z) - S_ n(z) \right| < \epsilon, \] 则称级数在 \( D \) 上一致收敛到 \( S(z) \)。一致收敛的关键在于，\( N \) 的选择不依赖于点 \( z \) 的位置，而是全局有效的。 一致收敛性能保证一些重要结论。例如，如果每个 \( f_ n(z) \) 在区域 \( D \) 上连续，且级数一致收敛，则和函数 \( S(z) \) 也在 \( D \) 上连续。更重要的是魏尔斯特拉斯 M-判别法：如果存在正数序列 \( M_ n \) 使得对所有 \( z \in D \) 有 \( |f_ n(z)| \leq M_ n \)，且数值级数 \( \sum M_ n \) 收敛，则函数项级数 \( \sum f_ n(z) \) 在 \( D \) 上绝对且一致收敛。 现在进入核心内容：解析函数项级数。如果每个 \( f_ n(z) \) 在区域 \( D \) 内解析，且级数在 \( D \) 内的任意紧集（有界闭集）上一致收敛，则我们称该级数在 \( D \) 上内闭一致收敛。这时，和函数 \( S(z) \) 在 \( D \) 内也是解析的。不仅如此，级数可以逐项求导任意多次，即对任意正整数 \( k \)， \[ S^{(k)}(z) = \sum_ {n=1}^{\infty} f_ n^{(k)}(z), \] 并且求导后的级数也在 \( D \) 的任意紧集上一致收敛。这个性质是复分析中独有的强大工具，它确保了在一致收敛条件下，解析函数的极限函数仍然是解析的，且极限运算与求导运算可交换。 最后，这些理论为复变函数的表示提供了基础，例如泰勒级数和洛朗级数都可以视为解析函数项级数的特例，其一致收敛性保证了展开式的有效性和可微性。