二次型的模形式与Theta级数 第一步：二次型与表示数的生成函数 二次型是形如 \( Q(x_ 1, \dots, x_ n) = \sum_ {1 \le i \le j \le n} a_ {ij} x_ i x_ j \) 的多项式（通常取整系数）。研究其表示数（即方程 \( Q(x_ 1, \dots, x_ n) = m \) 的整数解个数）是核心问题。一个自然思路是将表示数打包成生成函数： \[ \Theta_ Q(q) = \sum_ {m \ge 0} r_ Q(m) q^m, \] 其中 \( r_ Q(m) \) 是表示数，\( q = e^{2\pi i z} \)（\( z \in \mathbb{H} \)，上半复平面）。这种级数称为 Theta 级数 。 第二步：Theta 级数的模形式性质 对正定二次型 \( Q \)，Theta 级数 \( \Theta_ Q(z) \) 是复变量 \( z \) 的函数。关键发现是： 周期性 ：\( \Theta_ Q(z+1) = \Theta_ Q(z) \)（因 \( q \) 的周期为 1）。 模变换 ：对 \( z \mapsto -1/z \)，\( \Theta_ Q(-1/z) \) 可表示为其他 Theta 级数的线性组合（通过泊松求和公式）。 例如，对 \( Q(x) = x^2 \)，有 \( \Theta_ Q(-1/z) = \sqrt{z/i} \Theta_ Q(z) \)。 这些性质说明 \( \Theta_ Q(z) \) 是 模形式 ：在模群 \( \mathrm{SL}_ 2(\mathbb{Z}) \) 的变换下满足特定函数方程。 第三步：权与级的确定 模形式有权（weight）和级（level）两个关键参数： 权 ：由变换规则中的因子决定。对 \( n \) 元二次型 \( Q \)，权为 \( n/2 \)（例如 \( Q(x) = x^2 \) 对应权 \( 1/2 \)）。 级 ：由二次型的判别式或关联的模群子群决定。若 \( Q \) 的系数为整数且判别式与 \( N \) 互质，则级通常与 \( N \) 相关（具体需通过变换验证）。 第四步：Theta 级数作为模空间元素 模形式构成有限维向量空间 \( M_ k(\Gamma) \)（权 \( k \)、级 \( \Gamma \) 的模形式空间）。Theta 级数属于此类空间，因此可被基展开： \[ \Theta_ Q(z) = E(z) + F(z), \] 其中 \( E \) 是艾森斯坦级数（反映表示数的渐近行为），\( F \) 是尖形式（刻画细微偏差）。此分解将表示数 \( r_ Q(m) \) 与 模形式傅里叶系数 的解析性质关联。 第五步：应用与推广 表示数公式 ：通过比较傅里叶系数，可得 \( r_ Q(m) \) 的显式公式（如结合史密斯标准形、类数公式）。 非正定情形 ：对不定二次型，Theta 级数需修正为 调和Theta 级数 （引入球函数消除发散问题），仍具模性。 高维推广 ：Theta 级数可联系自守形式、西格玛模型等物理理论，成为朗兰兹纲领中联系数论与几何的桥梁。 通过Theta 级数，二次型的算术问题转化为模形式的解析问题，体现了数论中“几何化”思想的威力。