Γ函数 基本定义与动机 Γ函数是阶乘概念在实数和复数域上的推广。对于正整数n，阶乘n!满足递归关系n! = n·(n-1)!，且0 ! = 1。Γ函数通过积分定义将阶乘推广到非整数参数： \[ \Gamma(z) = \int_ 0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt, \quad \text{Re}(z) > 0 \] 此定义要求复变量z的实部大于0，确保积分收敛。当z为正整数n时，Γ(n) = (n-1)!，例如Γ(1)=0!=1，Γ(2)=1 !=1。 解析延拓与函数方程 通过部分积分可得函数方程：Γ(z+1) = zΓ(z)。利用此等式，可将Γ函数解析延拓到整个复平面（除z=0,-1,-2,...外）。例如，在-1<Re(z)<0时，定义Γ(z) = Γ(z+1)/z，依此类推。延拓后的Γ函数在负整数处有一阶极点，留数Res(Γ, -n) = (-1)^n/n !。 与特殊函数的关系 Γ函数与贝塔函数紧密相关：B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)，其中贝塔函数定义为B(x,y)=∫₀¹ t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt。此外，Γ函数出现在黎曼ζ函数函数方程中：ζ(s)=2^s π^{s-1} sin(πs/2) Γ(1-s) ζ(1-s)。 应用与性质 Γ函数在数论（素数分布）、概率论（伽马分布）和物理（量子力学谐振子）中有广泛应用。其重要性质包括欧拉反射公式Γ(z)Γ(1-z)=π/sin(πz)，以及斯蒂尔杰斯常数γ=-Γ'(1)定义的欧拉-马歇罗尼常数。