二次型的自守L函数与朗兰兹纲领 我们先从二次型的自守L函数的基本定义开始。设 \( Q(x_ 1, \dots, x_ n) \) 是一个整系数正定二次型，其自守L函数与一个模形式 \( f_ Q(\tau) \) 相关联，该模形式是由二次型 \( Q \) 的Theta级数生成的： \[ \theta_ Q(\tau) = \sum_ {x_ 1, \dots, x_ n \in \mathbb{Z}} q^{Q(x_ 1, \dots, x_ n)} = \sum_ {m \geq 0} r_ Q(m) q^m, \quad q = e^{2\pi i \tau}, \] 其中 \( r_ Q(m) \) 是二次型 \( Q \) 表示整数 \( m \) 的表示数。若 \( \theta_ Q \) 是某个合同子群 \( \Gamma_ 0(N) \) 上的模形式，则其对应的L函数定义为狄利克雷级数： \[ L(s, \theta_ Q) = \sum_ {m \geq 1} \frac{a_ m}{m^s}, \] 其中 \( a_ m \) 是 \( \theta_ Q \) 的傅里叶系数（可能需调整常数项）。此L函数可解析延拓至整个复平面，并满足函数方程。 进一步，二次型的自守L函数可视为朗兰兹纲领中一类更广泛对应关系的特例。朗兰兹纲领提出：任何数域上的约化代数群的自守表示，应与另一数域上的伽罗瓦表示的L函数匹配。对于二次型 \( Q \)，其自守形式 \( \theta_ Q \) 生成一个自守表示，而该表示的L函数应等同于某个伽罗瓦群表示的Artin L函数。具体地，若二次型 \( Q \) 对应一个代数群 \( \mathrm{SO}(n) \)，则通过双覆盖映射 \( \mathrm{Spin}(n) \to \mathrm{SO}(n) \)，其自守形式可提升到 \( \mathrm{Spin}(n) \) 上，并与正交群的伽罗瓦表示相关联。 朗兰兹纲领在这一语境下的深层意义在于：二次型的局部-全局原理（如哈塞-闵可夫斯基定理）可提升为L函数的函数方程与解析性质的对应。例如，二次型 \( Q \) 的哈塞-闵可夫斯基局部条件，对应其自守L函数的欧拉积中各局部因子的一致性，从而保证函数方程的存在性。 最终，这一对应关系在特殊情形下可转化为具体数论问题，如二次型的类数与L函数在中心点的值相关（如西格尔公式）。朗兰兹纲领的统一框架表明，二次型的算术性质可通过自守形式的分析工具深入研究，而L函数成为连接表示论、代数几何与数论的桥梁。