二次型的自守L函数与朗兰兹纲领 1. 二次型的自守L函数的基本定义 二次型的自守L函数是将二次型与L函数结合的对象，用于研究二次型表示数的解析性质。设 \( Q(x_ 1, \dots, x_ k) \) 是一个整系数正定二次型，其表示数为 \( r_ Q(n) \)（满足 \( Q(\mathbf{x}) = n \) 的整数解个数）。通过生成函数 \( \sum_ {n \geq 0} r_ Q(n) e^{2\pi i n z} \)（模形式）的狄利克雷级数，可定义L函数： \[ L(Q, s) = \sum_ {n \geq 1} \frac{r_ Q(n)}{n^s}. \] 当 \( Q \) 对应模形式时，此级数在收敛域内具有欧拉乘积和函数方程。 2. 自守L函数的解析延拓与函数方程 若 \( Q \) 对应的模形式是赫克特征形式（如Theta级数），则 \( L(Q, s) \) 可解析延拓至整个复平面，并满足函数方程。例如，对二元二次型 \( Q(x,y) = x^2 + y^2 \)，其L函数关联于狄利克雷L函数 \( L(\chi, s) \)（其中 \( \chi \) 是模4的非平凡特征），函数方程为： \[ \Lambda(s) = \pi^{-s} \Gamma(s) L(Q, s) = \Lambda(1-s). \] 此方程通过模形式的模变换性质证明。 3. 自守L函数与朗兰兹纲领的关联 朗兰兹纲领将数论中的自守形式与表示论中的L函数统一。二次型的自守L函数可视为： 自守表示 ：二次型对应的模形式生成GL(2)的自守表示。 L函数 ：通过朗兰兹局部-全局对应，与伽罗瓦表示的L函数匹配。 例如，二元二次型的L函数可能等于某类Artin L函数，反映类域论的高维推广。 4. 应用：表示数的渐近公式与筛法 通过L函数的解析性质（如极点的留数），可得二次型表示数的渐近公式。例如，对 \( Q(x,y) = x^2 + y^2 \)，有： \[ r_ Q(n) \sim \frac{\pi}{\text{类数}} \cdot \text{局部密度项}. \] 结合朗兰兹纲领的猜想，可研究例外集问题（如哪些整数不能被特定二次型表示）。 5. 当前发展与未解问题 非自守情形 ：若二次型不对应模形式（如高维非正则形式），其L函数的解析性质尚不明确。 p进L函数 ：构造p进自守L函数并应用于Iwasawa理论。 超越数论 ：L函数特殊值的算术意义（如BSD猜想与二次型表数问题）。 此方向融合了模形式、表示论与代数数论，是朗兰兹纲领的典型实例。