随机矩阵乘积的遍历性 在遍历理论中，随机矩阵乘积的遍历性研究的是由随机选择的矩阵序列构成的动力系统的渐近行为。这一理论将经典的遍历定理推广到非交换的矩阵作用上，其核心问题是探究在何种条件下，随机矩阵乘积的极限行为（例如，矩阵乘积的范数增长率或方向分布）会变得确定性和稳定，即表现出遍历性。 1. 基本设置与核心问题 考虑一个概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, \mu)\) 和一个可测映射 \(T: \Omega \to \Omega\)，它保测度且遍历。同时，我们有一个可测函数 \(A: \Omega \to \text{GL}(d, \mathbb{R})\)，其值域是 \(d\) 维实可逆矩阵群。这定义了一个 线性随机动力系统 ：对于初始向量 \(v \in \mathbb{R}^d\)，其演化由随机矩阵乘积描述： \[ A^{(n)}(\omega) = A(T^{n-1}\omega) A(T^{n-2}\omega) \cdots A(\omega). \] 核心问题包括： 矩阵乘积的范数 \(\|A^{(n)}(\omega)\|\) 的指数增长率（即 李亚普诺夫指数 ）是否几乎必然存在且为常数？ 向量 \(A^{(n)}(\omega)v\) 的方向在投影空间 \(\mathbb{P}^{d-1}\) 上的分布是否会收敛到一个稳定的分布（ 不变测度 ）？ 2. 关键定理：奥塞莱德乘性遍历定理 这是该领域的基石定理，可视为伯克霍夫遍历定理在非交换情形的深刻推广。它断言，在一定的可积性条件下（例如 \(\mathbb{E}[ \max(\log\|A(\omega)\|, 0)] < \infty\)），存在确定的数 \(\lambda_ 1 > \lambda_ 2 > \cdots > \lambda_ k\)（李亚普诺夫指数）以及一个与 \(\omega\) 相关的 旗 \(V_ 1(\omega) \subset V_ 2(\omega) \subset \cdots \subset V_ k(\omega) = \mathbb{R}^d\)，使得对于几乎所有的 \(\omega\) 和不在某个特定子空间中的向量 \(v\)，有： \[ \lim_ {n \to \infty} \frac{1}{n} \log \|A^{(n)}(\omega) v\| = \lambda_ i, \] 其中 \(i\) 是满足 \(v \in V_ i(\omega) \setminus V_ {i-1}(\omega)\) 的索引。这意味着矩阵乘积在不同方向上的伸缩速率是确定的。 3. 不变测度与Furstenberg-Kesten定理 为了描述方向的渐近分布，我们考虑系统在投影空间 \(\mathbb{P}^{d-1}\) 上的提升。Furstenberg-Kesten 定理表明，最大李亚普诺夫指数 \(\lambda_ 1\) 几乎必然由下式给出： \[ \lambda_ 1 = \lim_ {n \to \infty} \frac{1}{n} \log \|A^{(n)}(\omega)\|. \] 更深入的结果是，在矩阵群满足某种不可约性条件下（例如，Furstenberg 定理），存在唯一的 不变概率测度 \(\nu\) 在 \(\mathbb{P}^{d-1}\) 上，使得对于随机矩阵 \(A\) 和初始方向 \(\bar{x} \in \mathbb{P}^{d-1}\)，\(A \cdot \bar{x}\) 的分布由 \(\nu\) 描述。这个测度 \(\nu\) 是理解随机矩阵乘积方向动力学的关键。 4. 应用与扩展 随机矩阵乘积的遍历性理论有广泛的应用： 随机薛定谔算子 ：用于研究无序介质中电子的局域化现象。 统计物理 ：在分析非均匀材料的性质时出现。 数论 ：与连分数展开的动力学有关。 数据压缩与机器学习 ：在分析某些迭代算法的稳定性时发挥作用。 该理论还可以扩展到更一般的群作用，以及研究次李亚普诺夫指数、大偏差原理等更精细的渐近行为。