复变函数的残数定理
残数定理是复变函数积分理论的核心结果之一，它将复积分计算转化为函数在奇点处的残数求和问题。下面逐步展开讲解：
1. 残数的定义
设函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 的去心邻域内解析，其洛朗级数展开为：
\[f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n. \]
其中，系数 \(a_{-1}\) 称为 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处的残数（Residue），记作：
\[\operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1}. \]
残数的意义在于，它是洛朗级数中唯一对闭路积分有贡献的项（因为 \((z - z_0)^{-1}\) 的积分非零）。
2. 残数定理的表述
设 \(D\) 是复平面上的单连通区域，\(C\) 是 \(D\) 内的一条简单闭曲线，函数 \(f(z)\) 在 \(D\) 内除有限个孤立奇点 \(z_1, z_2, \ldots, z_n\) 外解析，且在 \(C\) 上解析，则：
\[\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f, z_k). \]
关键点：
- 积分方向为逆时针（正方向）；
- 奇点必须位于 \(C\) 内部；
- 定理将积分计算转化为代数求和。
3. 残数的计算方法
(1) 可去奇点
若 \(z_0\) 是可去奇点，则 \(\operatorname{Res}(f, z_0) = 0\)。
(2) 极点
- 一阶极点：若 \(z_0\) 是一阶极点，且 \(f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}\)（\(g(z_0) \neq 0\)，\(h(z_0)=0\)，\(h'(z_0)\neq 0\)），则：
\[ \operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}. \]
- m 阶极点：若 \(z_0\) 是 m 阶极点，则：
\[ \operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]. \]
(3) 本性奇点
通常需直接展开洛朗级数求 \(a_{-1}\)，或利用已知级数展开式。
4. 残数定理的证明思路
- 以每个奇点为中心作小圆周 \(\gamma_k\)，使得所有小圆周互不相交且位于 \(C\) 内部；
- 由柯西积分定理，\(\oint_C f(z) \, dz = \sum_{k=1}^n \oint_{\gamma_k} f(z) \, dz\)；
- 在 \(\gamma_k\) 上，将 \(f(z)\) 展开为洛朗级数，积分后仅 \((z - z_k)^{-1}\) 项贡献 \(2\pi i a_{-1}\)；
- 合并结果即得定理。
5. 应用示例
计算积分：
\[I = \oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z(z-1)} \, dz. \]
步骤：
- 奇点 \(z=0\)（一阶极点）、\(z=1\)（一阶极点），均在圆周内；
- 求残数：
- \(\operatorname{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{e^z}{z(z-1)} = \frac{1}{-1} = -1\)；
- \(\operatorname{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{e^z}{z(z-1)} = \frac{e}{1} = e\)；
- 由残数定理：
\[ I = 2\pi i (-1 + e) = 2\pi i (e - 1). \]
6. 推广与意义
- 无穷远点的残数：若 \(f\) 在 \(\infty\) 邻域解析，定义 \(\operatorname{Res}(f, \infty) = -\frac{1}{2\pi i} \oint_{C} f(z) \, dz\)（积分取顺时针方向），且所有奇点（包括无穷远点）的残数之和为 0。
- 实积分计算：通过围道积分将实积分转化为复积分，再利用残数定理求解（如积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}\)）。
- 解析数论与物理应用：残数定理是研究级数、特殊函数和量子场论中路径积分的重要工具。
残数定理的本质是局部性质决定全局积分，体现了复分析中“局部-整体”的深刻联系。