复变函数的Mittag-Leffler定理 Mittag-Leffler定理是复变函数论中关于亚纯函数部分分式展开的重要结果。它解决了如何构造具有给定极点和相应主要部分的亚纯函数的问题。下面我们逐步展开讲解。 1. 问题的提出 在有理函数理论中，任何有理函数可以分解为多项式部分与部分分式之和，其中部分分式由各极点的主要部分（即负幂项）组成。Mittag-Leffler定理将这一思想推广到一般的亚纯函数：是否对任意给定的极点集（无极限点）及每个极点处给定的主要部分，都能构造一个亚纯函数，使其极点与主要部分恰好为给定的值？ 2. 定理的陈述 设： \(\{a_ n\}\) 是复平面上互不相同的点列（可有限或无穷），且 \(|a_ n| \to \infty\)（即无有限极限点）； 对每个 \(a_ n\)，给定一个主要部分 \(P_ n\left(\frac{1}{z-a_ n}\right)\)，其中 \(P_ n\) 是多项式且常数项为零。 则存在亚纯函数 \(f(z)\)，其极点恰好为 \(\{a_ n\}\)，且在极点 \(a_ n\) 处的主要部分为 \(P_ n\)。一般形式为： \[ f(z) = \sum_ {n=1}^\infty \left[ P_ n\left(\frac{1}{z-a_ n}\right) - g_ n(z) \right ] + h(z), \] 其中 \(g_ n(z)\) 是适当选择的多项式（用于保证级数收敛），\(h(z)\) 是整函数。 3. 构造思路与收敛问题 若极点个数有限，直接取 \(f(z) = \sum_ n P_ n\left(\frac{1}{z-a_ n}\right)\) 即可。但对于无穷极点集，级数可能发散。Mittag-Leffler 的关键思想是：对每个极点项 \(P_ n\left(\frac{1}{z-a_ n}\right)\)，减去一个多项式 \(g_ n(z)\)，使其在原点附近与 \(P_ n\) 足够接近，从而保证级数在紧集上一致收敛。例如，可取 \(g_ n(z)\) 为 \(P_ n\left(\frac{1}{z-a_ n}\right)\) 在 \(z=0\) 处的泰勒展开的前若干项，使得剩余项在 \(|z| < R\) 内足够小。 4. 与Weierstrass定理的对比 Weierstrass定理关注整函数的零点构造，通过收敛因子保证无穷乘积的收敛性；Mittag-Leffler定理则关注极点的构造，通过减去多项式的技巧保证级数收敛。两者共同体现了复分析中“局部性质决定全局结构”的思想。 5. 应用实例 余切函数的部分分式展开 ： \(\cot z = \frac{1}{z} + \sum_ {n=1}^\infty \left( \frac{1}{z-n\pi} + \frac{1}{z+n\pi} \right)\) 是 Mittag-Leffler 定理的经典例子，极点位于 \(z=n\pi\)，主要部分为 \(\frac{1}{z-n\pi}\)。 亚纯函数的通式 ：任何亚纯函数可表示为极点主要部分级数与整函数的和，这为研究亚纯函数提供了统一框架。 6. 推广与变体 定理可推广到极点集有极限点的情形（如自然边界），此时需考虑更复杂的收敛方法。此外，在复流形上也有相应的几何形式。 通过以上步骤，Mittag-Leffler定理揭示了亚纯函数的全局结构如何由局部极点信息唯一确定（至多相差一个整函数），是复分析中构造性理论的基石之一。