模形式的艾森斯坦级数的傅里叶系数 模形式的艾森斯坦级数是数论中一类重要的级数，其傅里叶系数具有深刻的算术性质。下面逐步介绍相关概念。 1. 艾森斯坦级数的定义 艾森斯坦级数是模形式空间的一组基，定义为： \[ E_ k(z) = \sum_ {(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \frac{1}{(mz+n)^k}, \] 其中 \(k \geq 4\) 为偶数，\(z\) 为复上半平面 \(\mathbb{H}\) 中的点。该级数需通过求和顺序规范化以保证收敛。 2. 傅里叶展开的必要性 模形式的核心性质是其在模群 \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})\) 作用下的周期性： \[ f(z+1) = f(z). \] 这一性质允许我们将 \(f(z)\) 展开为傅里叶级数： \[ f(z) = \sum_ {n\geq 0} a_ n q^n, \quad q = e^{2\pi i z}. \] 艾森斯坦级数的傅里叶系数蕴含了数论信息（如除数函数）。 3. 傅里叶系数的显式公式 对偶数 \(k \geq 4\)，艾森斯坦级数 \(E_ k(z)\) 的傅里叶展开为： \[ E_ k(z) = 1 - \frac{2k}{B_ k} \sum_ {n\geq 1} \sigma_ {k-1}(n) q^n, \] 其中： \(B_ k\) 是伯努利数（如 \(B_ 4 = -\frac{1}{30}\)）； \(\sigma_ {k-1}(n) = \sum_ {d\mid n} d^{k-1}\) 是除数函数。 示例 ： 对于 \(k=4\)，有 \[ E_ 4(z) = 1 + 240 \sum_ {n\geq 1} \sigma_ 3(n) q^n. \] 4. 系数的算术意义 傅里叶系数 \(a_ n = -\frac{2k}{B_ k} \sigma_ {k-1}(n)\) 链接了模形式与数论函数： \(\sigma_ {k-1}(n)\) 的乘性性质反映了整数的因子结构； 系数与伯努利数的关系揭示了模形式与解析数论的深层联系（如ζ函数的值）。 5. 应用：模形式空间的分解 艾森斯坦级数生成模形式空间中的“艾森斯坦部分”，其傅里叶系数与另一类模形式（尖点形式）的系数形成对比： 艾森斯坦级数的系数增长较平缓（多项式增长）； 尖点形式的系数增长受Ramanujan-Petersson猜想约束（近乎平方根增长）。 6. 推广：高阶艾森斯坦级数 在更高层次的模形式（如合同子群的情形）中，艾森斯坦级数的傅里叶系数可能涉及狄利克雷特征、L函数值等，进一步扩展了其算术应用（如类数公式的证明）。 通过以上步骤，我们可以看到艾森斯坦级数的傅里叶系数如何从基本定义逐步衍生出丰富的数论结构，并为研究模形式空间、L函数及整数性质提供工具。