勒贝格可测集 勒贝格可测集是实变函数论中最基本和核心的概念之一，它扩展了黎曼积分中处理的区间等简单集合，为勒贝格测度和积分理论奠定了基础。 第一步：从区间长度到外测度 直观起点 ：我们首先考虑实数轴 R 上最简单的集合——区间。对于一个区间 I（无论是开区间、闭区间还是半开半闭区间），我们可以直观地定义其“长度”或“测度” m(I)。例如，区间 [ a, b ] 的长度是 b - a。 问题与动机 ：对于更复杂的集合，比如有理数集 Q、无理数集，或者康托尔集，我们如何定义它们的“大小”？黎曼积分无法很好地处理这类集合。我们需要一种更一般、更强大的测度理论。 勒贝格外测度的定义 ：为了解决这个问题，我们引入勒贝格 外测度 （outer measure）。其基本思想是：用一个可数个开区间的并集去“覆盖”我们想要测量的集合 A，这些开区间的总长度给出了集合 A 的一个“上界”估计。然后，我们取所有可能覆盖中总长度的下确界（最大下界）。 形式化定义：对于实数轴 R 的任意子集 A，其勒贝格外测度 m* (A) 定义为： m* (A) = inf { Σ m(I_ k) : A ⊆ ∪ I_ k, {I_ k} 是一列开区间 } 这里的 inf 是对所有可能的可数开区间覆盖 {I_ k} 取的。 外测度的性质 ： 非负性 ：对于任何集合 A，有 m* (A) ≥ 0。 单调性 ：如果 A ⊆ B，那么 m* (A) ≤ m* (B)。 可数次可加性（但不是可加性） ：对于任意一列集合 {A_ n}，有 m* (∪ A_ n) ≤ Σ m* (A_ n)。注意，这里是小于等于，而不是等号。这是外测度的一个关键缺陷，它导致了下一步的定义。 第二步：引入可测性——卡拉西奥多里条件 可测性的核心思想 ：我们希望定义的测度 m 应该具有良好的可加性：如果两个集合 A 和 B 不相交，那么 m(A ∪ B) = m(A) + m(B)。外测度本身不具备完美的可加性。卡拉西奥多里（Carathéodory）提出了一个精妙的准则来挑选出那些“表现良好”的集合，这些集合与任何其他集合都能“和平共处”地满足可加性。 卡拉西奥多里条件 ：一个集合 E ⊆ R 被称为是 勒贝格可测的 ，如果对于 R 的 任意 子集 A（通常称为“测试集”），都满足以下条件： m* (A) = m* (A ∩ E) + m* (A ∩ E^c) 其中 E^c 是 E 的补集。 条件解读 ：这个条件意味着，集合 E 能够将任意测试集 A “干净地”分割成两部分（A 在 E 内的部分和 A 在 E 外的部分），并且这种分割不会导致外测度的“损失”。E 的边界是“光滑”到足以让外测度可以完美地分割任何集合。这保证了可测集之间具有良好的可加性。 第三步：勒贝格可测集的性质与勒贝格测度 可测集族构成一个 σ-代数 ：所有勒贝格可测集的集合，记作 L，构成了 R 上的一个 σ-代数。这意味着： 空集 ∅ 和全集 R 是可测的。 如果 E 可测，那么它的补集 E^c 也可测。 如果 {E_ n} 是一列可测集，那么它们的并集 ∪ E_ n 和交集 ∩ E_ n 也是可测的。 常见的可测集 ： 所有的开集和闭集都是可测的。特别地，所有的区间（开、闭、半开半闭）都是可测的。 所有的博雷尔集（由开集通过可数次并、交、补运算生成的集合）都是可测集。博雷尔集是可测集的一个非常重要的子类。 零测集（外测度为 0 的集合）都是可测的。例如，任何可数集（如有理数集 Q）都是零测集，因此是可测的。 勒贝格测度的定义 ：对于一个勒贝格可测集 E，我们将其勒贝格 测度 m(E) 定义为其外测度 m* (E)。即，m(E) = m* (E)。对于可测集，外测度就成为了一个具有良好性质的测度。 勒贝格测度的性质 ：在可测集上，勒贝格测度 m 具有我们期望的良好性质： 可数可加性 ：如果 {E_ n} 是一列互不相交的可测集，那么 m(∪ E_ n) = Σ m(E_ n)。这是勒贝格积分理论远超黎曼积分的关键所在。 平移不变性 ：对于任何可测集 E 和实数 x，集合 E + x = {y + x : y ∈ E} 也是可测的，并且 m(E + x) = m(E)。这表明勒贝格测度是均匀的。 第四步：不可测集的存在性与意义 存在性 ：利用选择公理，可以构造出 不是 勒贝格可测的集合（例如，维塔利集）。 意义 ：不可测集的存在表明，我们无法将勒贝格测度 合理地 定义在 R 的所有子集上。如果我们强行对所有子集定义满足可数可加性和平移不变性的测度，会导致矛盾（如巴拿赫-塔斯基悖论）。因此，将测度限制在可测集族 L 上，是数学上必要且严谨的选择。在实际应用中，我们遇到的所有“正常”集合都是可测的，不可测集更像是理论上的“怪物”。