勒贝格-斯蒂尔杰斯测度的绝对连续性
1. 基础概念回顾
在实变函数中，勒贝格-斯蒂尔杰斯测度（简称L-S测度）是勒贝格测度的推广，它通过一个单调递增右连续函数 \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 定义。对于区间 \((a, b]\)，其L-S测度为 \(\mu_g((a, b]) = g(b) - g(a)\)，并通过卡拉西奥多里延拓定理扩展到更一般的博雷尔集上。若 \(g(x) = x\)，则L-S测度退化为标准勒贝格测度。
2. 绝对连续性的定义
设 \(\mu_g\) 和 \(\mu_h\) 是两个L-S测度，分别由函数 \(g\) 和 \(h\) 生成。称 \(\mu_g\) 关于 \(\mu_h\) 绝对连续（记为 \(\mu_g \ll \mu_h\)），如果对于任意博雷尔集 \(E\)，满足 \(\mu_h(E) = 0\) implies \(\mu_g(E) = 0\)。特别地，若 \(\mu_h\) 是勒贝格测度（即 \(h(x) = x\)），则称 \(\mu_g\) 关于勒贝格测度绝对连续。
3. 函数角度的等价刻画
L-S测度的绝对连续性可通过生成函数 \(g\) 的性质来刻画：
- \(\mu_g \ll \mu_h\) 当且仅当 \(g\) 关于 \(h\) 绝对连续，即对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对 \(h\) 的任意有限个互不相交区间 \(\{(a_i, b_i]\}\) 满足 \(\sum_i [h(b_i) - h(a_i)] < \delta\) 时，有 \(\sum_i [g(b_i) - g(a_i)] < \varepsilon\)。
- 若 \(h(x) = x\)，则 \(g\) 需为绝对连续函数（在经典意义下），即 \(g\) 可表示为积分形式 \(g(x) = g(a) + \int_a^x f(t) \, dt\)，其中 \(f\) 为勒贝格可积函数。
4. 拉东-尼科迪姆定理的应用
若 \(\mu_g \ll \mu_h\)，则存在一个 \(\mu_h\)-几乎处处唯一的非负可测函数 \(f\)，使得对任意博雷尔集 \(E\)，有：
\[\mu_g(E) = \int_E f \, d\mu_h. \]
函数 \(f\) 称为 \(\mu_g\) 关于 \(\mu_h\) 的拉东-尼科迪姆导数，记为 \(f = \frac{d\mu_g}{d\mu_h}\)。当 \(\mu_h\) 为勒贝格测度时，\(f\) 即为 \(g'\)（几乎处处存在）。
5. 与勒贝格分解定理的联系
任意L-S测度 \(\mu_g\) 可唯一分解为：
\[\mu_g = \mu_{g_ac} + \mu_{g_s}, \]
其中 \(\mu_{g_ac} \ll \mu_h\)（绝对连续部分），\(\mu_{g_s} \perp \mu_h\)（奇异部分，即存在零测集使得两测度相互集中）。若 \(\mu_h\) 为勒贝格测度，则 \(g\) 可分解为绝对连续函数与奇异函数的和。
6. 实例分析
- 若 \(g(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt\)，则 \(\mu_g\) 关于勒贝格测度绝对连续，且 \(\frac{d\mu_g}{dx} = e^{-x^2}\)。
- 若 \(g\) 为康托尔函数（单调连续但非常数），则 \(\mu_g\) 奇异于勒贝格测度（集中在康托尔集上），故不绝对连续。
7. 应用意义
绝对连续性是分析测度间关系的关键工具，例如在概率论中（绝对连续概率分布）、微分方程解的正则性研究、以及信号处理（通过测度变换描述信号特性）等领域均有重要应用。