模形式的旧形式与新形式 我们从一个具体的模形式例子开始。设 \( f(z) \) 是一个权为 \( k \)、级为 \( N \) 的模形式。这意味着 \( f \) 在复上半平面 \( \mathbb{H} \) 上是全纯函数，并且对于所有 \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) 属于同余子群 \( \Gamma_ 0(N) \)（即满足 \( c \equiv 0 \pmod{N} \) 的模矩阵），有 \( f\left( \frac{az+b}{cz+d} \right) = (cz+d)^k f(z) \)。此外，\( f \) 在尖点（即有理数点及其在模群作用下的像）处也需全纯。 现在，考虑一个级为 \( N \) 的模形式 \( f \)，其傅里叶展开为 \( f(z) = \sum_ {n=0}^{\infty} a(n) e^{2\pi i n z} \)。如果存在某个 \( N \) 的真因子 \( M \)（即 \( M | N \) 且 \( M < N \)），以及一个级为 \( M \) 的模形式 \( g \)，其傅里叶系数为 \( b(n) \)，使得对于所有 \( n \)，有 \( a(n) = b(n) \)，那么我们称 \( f \) 是一个 旧形式 。本质上，\( f \) 是从一个更低级 \( M \) 的模形式 \( g \) 通过某种“提升”操作得到的，它本身并不包含真正属于级 \( N \) 的新信息。 为了精确描述这种提升操作，我们引入 退化映射 。设 \( d \) 是一个正整数，且 \( dM | N \)。对于一个级为 \( M \) 的模形式 \( g(z) \)，定义 \( (g|V_ d)(z) = g(dz) \)。这个操作 \( V_ d \) 会将一个级为 \( M \) 的模形式提升为一个级为 \( dM \) 的模形式。因此，旧形式可以定义为所有由级为 \( M \)（其中 \( M \) 是 \( N \) 的真因子）的模形式通过退化映射 \( V_ d \)（满足 \( dM | N \)）得到的模形式所张成的空间。 与旧形式相对的概念是 新形式 。一个新形式是一个级为 \( N \) 的模形式，它不属于由任何更低级（\( N \) 的真因子）的模形式生成的旧形式空间。换句话说，新形式是真正“新”的，其性质与傅里叶系数是级 \( N \) 所特有的，不能从更低级的模形式简单地推导出来。 新形式具有一个非常重要的性质，即它们是 Hecke算子的同时特征函数 。对于所有与级 \( N \) 互素的整数 \( n \) 对应的Hecke算子 \( T(n) \)，新形式 \( f \) 满足 \( T(n)f = \lambda(n)f \)，其中 \( \lambda(n) \) 是特征值，并且恰好等于其傅里叶系数 \( a(n) \)。这个性质使得新形式的 \( L \)-函数具有欧拉积表达式，并且满足优美的函数方程。 最后，整个权为 \( k \)、级为 \( N \) 的模形式空间可以分解为旧形式空间和新形式空间的直和。这个分解是 阿廷-韦伊猜想 在模形式理论中的具体体现，它允许我们将对任意模形式的研究，归结为对相对简单且具有良好性质的新形式的研究。新形式是理解模形式与伽罗瓦表示、椭圆曲线等对象之间深刻关系（如朗兰兹纲领）的核心工具。