遍历理论中的时间序列分析 时间序列分析在遍历理论中研究的是动力系统生成的序列的统计性质。设 \((X, \mathcal{B}, \mu, T)\) 是一个保测动力系统，\(f: X \to \mathbb{R}\) 是一个可测函数（观测函数）。系统沿轨道生成的序列 \(\{f(T^n x)\}_ {n \geq 0}\) 称为一个时间序列。遍历理论的核心问题之一是分析该序列的极限行为，如均值、方差、自相关性等。 1. 基本概念：平稳性与遍历性 平稳性 ：由于 \(T\) 保测，序列 \(\{f(T^n x)\}\) 的联合分布关于时间平移不变。即对任意 \(k, m\)，\((f(T^n x), f(T^{n+1} x), \dots, f(T^{n+k} x))\) 的分布与 \(n\) 无关。 遍历性 ：若 \(T\) 是遍历的，则时间平均等于空间平均（\(\lim_ {N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_ {n=0}^{N-1} f(T^n x) = \int f \, d\mu\) 几乎处处成立）。这意味着序列的长期行为由测度 \(\mu\) 决定。 2. 自相关函数与谱测度 自相关函数 ：定义为 \(C_ f(n) = \int f(x) \cdot f(T^n x) \, d\mu\)。遍历性保证了 \(C_ f(n)\) 可由时间平均估计： \[ \lim_ {N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_ {k=0}^{N-1} f(T^k x) f(T^{k+n} x) = C_ f(n) \quad \text{a.e.} \] 谱测度 ：通过傅里叶变换，自相关函数对应一个谱测度 \(\sigma_ f\) 在单位圆上： \[ C_ f(n) = \int_ 0^1 e^{2\pi i n \theta} d\sigma_ f(\theta). \] 谱测度刻画了序列的频率成分。例如，若 \(\sigma_ f\) 绝对连续，则序列表现出混合性；若为离散谱，则序列近乎周期性。 3. 中心极限定理与方差增长 若 \(f\) 的均值为零（\(\int f \, d\mu = 0\)），研究部分和 \(S_ N(x) = \sum_ {n=0}^{N-1} f(T^n x)\) 的分布。 方差极限 ：若系统满足某种混合条件（如指数混合），则方差满足 \[ \lim_ {N \to \infty} \frac{1}{N} \int S_ N^2(x) \, d\mu = \sum_ {n=-\infty}^{\infty} C_ f(n) = \sigma^2. \] 这里 \(\sigma^2\) 是渐近方差，若为正则可能满足中心极限定理（即 \(S_ N/\sqrt{N}\) 依分布收敛到正态分布）。 4. 长程依赖与重尾分布 当自相关函数衰减缓慢（如 \(C_ f(n) \sim n^{-\alpha}\) 且 \(0<\alpha<1\)），序列表现出长程依赖。此时方差增长超线性：\(\text{Var}(S_ N) \sim N^{2-\alpha}\)。 在遍历理论中，这类行为常见于具有间歇性的系统（如某些非均匀双曲系统），其谱测度可能具有奇点。 5. 应用与扩展 动力系统分类 ：通过分析时间序列的统计特征（如衰减率、谱类型）可区分系统的动力性质（如混沌、周期性、随机性）。 非平稳序列 ：若系统非遍历（如存在多个不变测度），时间序列可能依赖于初始点，此时需用遍历分解处理。 高维观测 ：若 \(f: X \to \mathbb{R}^d\)，可研究多变量时间序列的互相关函数与交叉谱。 通过以上步骤，遍历理论为时间序列提供了基于动力系统结构的严格分析框架，将统计性质与系统的内在特性（如遍历性、混合性、谱）紧密联系。