遍历理论中的压缩变换 基本定义 压缩变换是遍历理论中一类重要的可测变换。设 \((X, \mathcal{B}, \mu)\) 是一个概率空间，变换 \(T: X \to X\) 称为 压缩变换 ，如果对任意可测集 \(A \in \mathcal{B}\)，满足 \(\mu(T^{-1}A) \leq \mu(A)\)。这意味着变换 \(T\) 可能减少集合的测度，但不会增加它。压缩变换是保测变换（满足 \(\mu(T^{-1}A) = \mu(A)\)）的推广，允许系统在演化过程中“损失”测度。 非保守性与耗散性 压缩变换可能具有 非保守性 ：存在某些集合 \(A\) 使得 \(\mu(T^{-n}A) \to 0\)（当 \(n \to \infty\)）。若存在一个正测集 \(W \in \mathcal{B}\) 使得 \(\bigcup_ {n \geq 0} T^{-n}W\) 的补集具有正测度，则称 \(T\) 是 耗散变换 。耗散性反映了系统部分区域在迭代下逐渐“逃逸”的行为，与保守系统（如保测变换）形成对比。 霍普夫分解的推广 对于压缩变换，霍普夫分解定理可推广为：概率空间 \(X\) 可唯一分解为 保守部分 \(C\) 和 耗散部分 \(D\)。保守部分满足对任意 \(A \subset C\)，有 \(\mu\left(A \cap \bigcup_ {n \geq 1} T^{-n}A\right) > 0\)（类似回归性）；耗散部分则存在一个可测集 \(W \subset D\) 使得 \(\{T^{-n}W\}_ {n \geq 0}\) 互不相交。此分解揭示了压缩变换的动态结构。 转移算子与对偶性 压缩变换 \(T\) 诱导的 转移算子 \(U_ T: L^2(\mu) \to L^2(\mu)\) 定义为 \(U_ T f(x) = f(Tx)\)，但因其非保测性，\(U_ T\) 一般不再是等距算子，而是压缩算子（\(\|U_ T f\|_ 2 \leq \|f\|_ 2\)）。通过研究 \(U_ T\) 的谱性质，可分析系统的渐近行为，例如衰减速率或不变函数的存在性。 应用与例子 压缩变换常见于带有“吸收边界”的系统，如随机过程在有限区域的演化（粒子被陷阱捕获）、开放动力系统（如耗散混沌系统）。例如，在马尔可夫链中，若状态空间存在吸收态，则转移映射可视为压缩变换。这类系统的研究需结合遍历理论与概率方法，例如通过条件测度分析逃逸速率或准稳态分布。