圆的渐开线（续） 圆的渐开线的几何性质可以从其生成过程中直接推导。考虑一个半径为 \( R \) 的基圆，从圆周上一点 \( P \) 展开一条紧绷的细线，细线端点 \( Q \) 的轨迹即为渐开线。设细线展开的长度为 \( s \)，对应的圆心角为 \( \theta \)（弧度制），则 \( s = R\theta \)。 点 \( Q \) 的位置向量可表示为： 基圆圆心 \( O \) 为原点。 展开点 \( P \) 的位置为 \( (R\cos\theta, R\sin\theta) \)。 细线始终与基圆相切，因此 \( \overrightarrow{PQ} \) 沿基圆在 \( P \) 点的切线方向，长度为 \( s = R\theta \)。 切线方向向量为 \( (-R\sin\theta, R\cos\theta) \)，单位化后乘以 \( s \) 得 \( \overrightarrow{PQ} = ( -R\theta\sin\theta, R\theta\cos\theta ) \)。 因此渐开线的参数方程为： \[ x = R(\cos\theta + \theta\sin\theta), \quad y = R(\sin\theta - \theta\cos\theta). \] 渐开线的曲率半径 \( \rho \) 可通过微分几何计算： 切向量 \( \mathbf{T} = \frac{d\mathbf{r}}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{ds} \)，其中 \( \mathbf{r}(\theta) \) 为参数方程。 计算得 \( \frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = (R\theta\cos\theta, R\theta\sin\theta) \)，模长为 \( R\theta \)。 弧长微分 \( ds = R\theta\,d\theta \)，故曲率半径 \( \rho = \frac{1}{\kappa} = R\theta \)。 当 \( \theta > 0 \) 时，曲率半径随展开角增大而增大，说明渐开线从基圆起点开始逐渐展开，曲率逐渐减小。 渐开线的法线性质： 基圆在点 \( P \) 的半径 \( OP \) 与渐开线在点 \( Q \) 的法线重合。 证明：参数方程对 \( \theta \) 求导得切向量 \( \mathbf{T} = (R\theta\cos\theta, R\theta\sin\theta) \)。 法向量 \( \mathbf{N} \) 与 \( \mathbf{T} \) 垂直，可取 \( \mathbf{N} = (-\sin\theta, \cos\theta) \)。 点 \( Q \) 到基圆圆心 \( O \) 的向量 \( \overrightarrow{OQ} = (R\cos\theta + R\theta\sin\theta, R\sin\theta - R\theta\cos\theta) \)。 其投影到法向量的长度为 \( \overrightarrow{OQ} \cdot \mathbf{N} = R \)，恰好为基圆半径，说明 \( OQ \) 在法线上的投影为定值，验证法线通过圆心。 渐开线的渐屈线即为基圆： 渐屈线是曲率中心的轨迹，渐开线上点 \( Q \) 的曲率中心 \( C \) 满足 \( \overrightarrow{QC} = \rho \mathbf{N} \)。 代入 \( \rho = R\theta \) 和 \( \mathbf{N} = (-\sin\theta, \cos\theta) \)，得 \( C \) 的坐标： \[ x_ C = x + \rho (-\sin\theta) = R\cos\theta, \quad y_ C = y + \rho (\cos\theta) = R\sin\theta. \] 这正是基圆的参数方程，表明渐开线的渐屈线是基圆自身。 应用示例（齿轮设计）： 渐开线齿轮的齿廓为渐开线，能保证恒定传动比。 两齿轮基圆相切，啮合点始终在公法线上，且法线为两基圆的内公切线，确保运动平稳。