索末菲衍射理论

索末菲衍射理论是波动光学中的一个严格标量理论，由阿诺德·索末菲建立，用于处理单色光通过平面屏幕（如光圈或障碍物）时的衍射问题。它基于亥姆霍兹方程和格林定理，提供了比基尔霍夫衍射理论更为严格的数学基础，因为它采用了满足边界条件的精确格林函数。

1. 理论基础：标量亥姆霍兹方程与格林定理

   • 首先，我们考虑单色光，其复振幅满足标量亥姆霍兹方程：∇²U(r) + k²U(r) = 0，其中 k 是波数。
   • 我们的目标是求解屏幕后方某一点 P 处的光场 U(P)。索末菲采用了数学上的格林定理（或称格林恒等式），该定理将一个体积分与一个包围该体积的封闭曲面积分联系起来。
   • 具体应用是：选择一个封闭曲面 S，它由三部分组成：1) 衍射屏幕前的平面 A（屏幕上的开孔部分），2) 屏幕的不透明部分，3) 一个以P点为中心、半径趋于无穷大的半球面 S∞。根据索末菲辐射条件，在 S∞ 上的积分为零。因此，问题简化为在屏幕平面（开孔和障碍物部分）上的积分。

2. 基尔霍夫理论的局限性

   • 在索末菲之前，基尔霍夫衍射理论是主流。基尔霍夫通过假设：
     1. 在屏幕开孔处，场分布等于没有屏幕时的入射场。
     2. 在屏幕的不透明部分，场及其法向导数均为零。
   • 这些边界条件在数学上是不自洽的（根据柯西问题，一个椭圆型方程的解不能同时独立指定边界上的函数值及其法向导数值）。这被称为基尔霍夫边界条件的不自洽性。

3. 索末菲的突破：精确格林函数

   • 索末菲的核心贡献是巧妙地选择了格林函数，使得在屏幕平面上的积分只需在开孔区域进行，从而绕开了基尔霍夫理论中的边界条件矛盾。
   • 他引入了两种方案，分别对应不同的格林函数：
     • 第一类索末菲解（刚性边界条件）：他选择的格林函数 G₁ 在屏幕平面（z=0）上恒为零（G₁|_(z=0) = 0）。这样，在格林定理的积分表达式中，一项被消去，最终得到 U(P) 正比于屏幕平面上入射场 U₀ 的法向导数在开孔上的积分。这个解在物理上对应于屏幕是理想导电体（对于电磁波）或刚性边界（对于声波）的情况。
     • 第二类索末菲解（自由边界条件）：他选择的格林函数 G₂ 在屏幕平面上的法向导数为零（∂G₂/∂n|_(z=0) = 0）。这样，最终得到 U(P) 正比于屏幕平面上的入射场 U₀ 本身在开孔上的积分。这个解更接近于光学衍射的实际情况。

4. 索末菲积分公式

   • 对于最常见的第二类解，当点光源位于 (0,0,-z₀) 时，观察点 P 位于 (x,y,z)，且屏幕开孔无限大（或问题退化为半无限平面障碍物），索末菲得到了一个非常优美的积分表达式。这个积分通常可以写成与屏幕边缘距离相关的菲涅尔积分形式。
   • 这个严格的解能够精确描述从几何光学阴影区到照明区的平滑过渡，即衍射现象。它完美地预言并解释了泊松亮斑等实验现象。

5. 理论与实验的吻合

   • 索末菲衍射理论的最大成功在于其预测与实验观测高度一致。特别是对于半平面衍射（如刀口衍射），理论计算出的光强分布曲线与实验结果吻合得非常好，解决了基尔霍夫理论在某些区域预测偏差的问题。
   • 它成为了标量衍射理论的基石，并被广泛应用于光学、声学和电磁波传播的建模中。