数学课程设计中的数学化思想教学 数学化思想是数学教育的核心目标之一，它指的是将现实世界或数学内部的问题、情境和关系，通过抽象、概括、符号化等手段，转化为可以用数学语言和工具进行系统研究的形式的过程。在课程设计中融入数学化思想教学，旨在帮助学生学会像数学家一样思考，从纷繁复杂的现象中构建数学模型，而不仅仅是学习现成的数学结论。 第一步：理解数学化思想的内涵与层次 数学化思想的核心是“从非数学到数学”和“在数学内部进行再组织”的转化过程。荷兰数学教育家汉斯·弗赖登塔尔将其系统阐述，并区分为两个主要方向： 横向数学化 ：这是指将现实世界的问题情境转化为数学问题的过程。它关注的是数学与外部世界的联系。例如，面对“如何公平分配一块披萨”的生活问题，学生需要将其抽象为“分数的意义与运算”这一数学问题。这个过程包括识别问题中的数学要素（如整体、部分、等分）、建立变量关系、并用数学符号进行表达。 纵向数学化 ：这是在数学知识体系内部进行的转化和重组。它关注的是数学概念、规则和结构之间的内在逻辑联系。例如，从具体的算术运算，发展到抽象的代数符号运算（如从 3+4=7 到 a+b=c ），或者将几何图形的性质进行一般化、公理化，形成定理体系。纵向数学化是数学知识得以深化和系统化的关键。 在课程设计中，教师需要明确，数学教学不仅要让学生掌握横向数学化（应用），更要引导他们经历纵向数学化（深化理解、构建体系）。 第二步：在课程目标中确立数学化思想的地位 在设计具体教学单元或课时计划时，课程目标不应仅仅陈述为“学生将掌握XX公式/定理”，而应明确体现数学化过程。目标应包含以下层次： 经历数学化过程 ：学生将有机会面对一个（半）开放性的现实情境或数学内部挑战，并尝试用自己的方式（如图表、文字、初步符号）进行数学描述。 形成数学概念/模型 ：在教师的引导和与同伴的讨论中，学生能逐步抽象、概括，形成或理解关键的数学概念、关系或模型。 反思数学化过程 ：学生能回顾并阐述自己是怎样从具体情境中抽象出数学结构的，理解这种转化背后的思想和价值。 例如，在“函数”概念的教学中，目标可以设定为：“学生能分析几个具体的变化过程（如水箱水位随时间变化），通过列表、描点、尝试关系式等步骤，自主建构出变量间依赖关系的初步模型，并理解用 y=f(x) 这一符号来统一表示这种关系的必要性。” 第三步：设计蕴含数学化思想的教学活动序列 教学活动应精心设计，以引导学生逐步完成数学化过程。一个典型的序列如下： 创设“化”的起点——真实或接近真实的情境 ：情境的选择至关重要。它应蕴含清晰的数学关系，能激发学生的探究欲望，并且其复杂程度要适合学生的认知水平。这个情境可以是现实问题（如优化包装设计），也可以是数学内部值得探究的问题（如寻找数的规律）。 引导“化”的过程——搭建探究脚手架 ： 模型初建 ：鼓励学生使用非形式化的方法（如实物操作、画图、列表、语言描述）来探索和表达情境中的关系和规律。这是横向数学化的开端。 符号化 ：引导学生发现非形式化方法的局限性（如描述复杂关系时语言或图形显得繁琐），从而自然产生引入数学符号（如字母、运算符号）的需求。这是从横向数学化迈向纵向数学化的关键一步。 模型精炼与验证 ：引导学生利用已建立的符号系统进行推理、运算，得出新的结论或预测，并回到原始情境或新情境中进行检验和修正。 实现“化”的升华——反思与形式化 ：组织学生回顾整个探究过程，讨论“我们是如何解决这个问题的？”“我们创造了什么数学工具？”“这个工具还能用在什么地方？”。通过反思，将具体的活动经验提升为一般的数学思想方法。最后，将学生建构的模型与正式的数学概念、定理联系起来，完成形式化。 第四步：开发支持数学化思想的评价方式 评价应关注学生在数学化过程中的表现，而不仅仅是最终答案的正确性。评价方式应多元化： 过程性评价 ：通过观察、课堂提问、小组讨论记录等方式，评估学生在情境中识别数学信息、提出猜想、尝试符号化、进行数学推理等环节的表现。 表现性任务 ：设计需要学生完整经历数学化过程的任务。例如，提供一个复杂的现实问题，要求学生提交一份报告，阐述他们是如何将问题数学化、建立了什么模型、如何求解以及如何解释结果的。 开放性问题的设计 ：在习题中，不仅要有直接应用知识的题目，还应包含需要学生自己先进行数学化转化的题目。例如，“请设计一个情境，能够用方程 2x + 5 = 15 来建模并求解”。 总结 ：在数学课程设计中贯彻数学化思想教学，本质上是将数学教学从“传授结果”转向“揭示过程”，让学生亲历知识的创造与组织过程。这要求教师自身深刻理解数学的本质，并精心设计能够引导学生主动进行横向与纵向数学化的学习路径，从而真正培养其数学思维和创新能力。