圆的渐开线与渐屈线的曲率关系（续） 曲率的基本概念回顾 曲率描述曲线在某一点的弯曲程度。对于一条平面曲线，其曲率 \( \kappa \) 定义为切线方向对弧长的变化率。若曲线由参数方程 \( \mathbf{r}(s) \)（\( s \) 为弧长参数）给出，则曲率 \( \kappa = \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\| \)，其中 \( \mathbf{T} \) 是单位切向量。对于圆，曲率是半径 \( R \) 的倒数：\( \kappa = \frac{1}{R} \)。 渐开线的曲率表达式 圆的渐开线是由一条紧绷的线从圆周上展开时端点形成的轨迹。若圆的半径为 \( R \)，渐开线的参数方程为： \[ x = R(\cos t + t \sin t), \quad y = R(\sin t - t \cos t), \] 其中 \( t \) 是展开角（弧度）。渐开线的曲率 \( \kappa_ i \) 可通过微分几何公式计算： \[ \kappa_ i = \frac{1}{R t}. \] 这表明渐开线的曲率随展开角 \( t \) 增大而减小，在起点（\( t=0 \)）处曲率无穷大（尖点），随后逐渐平滑。 渐屈线的曲率特性 圆的渐屈线是其渐开线的曲率中心轨迹。对于圆而言，渐屈线退化为一个点（圆心），但更一般地，渐屈线的曲率与原曲线密切相关。若原曲线曲率为 \( \kappa \)，则其渐屈线的曲率 \( \kappa_ e \) 满足： \[ \kappa_ e = \frac{d}{ds} \left( \frac{1}{\kappa} \right), \] 其中 \( s \) 是原曲线的弧长参数。对于圆的渐开线，其渐屈线是圆本身，曲率为常数 \( \frac{1}{R} \)。 渐开线与渐屈线的曲率互补关系 渐开线上任意一点的曲率半径 \( \rho_ i \) 等于该点对应的渐屈线弧长（从渐屈线起点测量）。具体地： 渐开线的曲率半径 \( \rho_ i = R t \)（即展开的线段长度）。 圆的渐屈线（圆心）到渐开线上点的距离恰好为 \( R t \)，这体现了曲率半径的几何意义：渐开线的弯曲程度由渐屈线（圆心）的“距离”控制。 曲率中心的运动学解释 当点沿渐开线运动时，其曲率中心沿渐屈线（圆）以恒定角速度移动。渐开线的曲率变化率 \( \frac{d\kappa_ i}{ds} \) 与渐屈线的曲率 \( \kappa_ e \) 相关： \[ \frac{d\kappa_ i}{ds} = -\kappa_ i^2 \kappa_ e. \] 对于圆的渐开线，\( \kappa_ e = \frac{1}{R} \)，代入可得曲率变化率与展开角的关系，进一步说明渐开线如何从尖点逐渐平缓。