勒贝格测度
字数 2285 2025-11-03 00:19:42

勒贝格测度

我们先从最直观的几何概念——长度、面积、体积——开始。在数学中，我们统称这些概念为“测度”。对于一条直线段，我们可以轻易地定义其长度为端点坐标之差。但是，如果我们面对的是直线上一个复杂的点集（比如所有有理数的集合），它的“长度”应该是多少？勒贝格测度正是为了给直线上的任意子集（在一定的限制条件下）赋予一个“长度”而建立的精密理论，它是现代实分析特别是勒贝格积分理论的基石。

第一步：从区间开始定义测度

最基础的图形是区间。对于实数轴 \(\mathbb{R}\) 上的一个区间 \(I\)（无论开、闭或半开半闭），我们将其测度 \(m(I)\) 定义为其长度。具体来说：

  • 若 \(I = [a, b]\)，则 \(m(I) = b - a\)。
  • 这个定义对于 \((a, b), (a, b], [a, b)\) 同样适用，因为一个端点的有无并不影响区间的“长度”。

这是我们对测度最朴素也是最坚实的出发点。

第二步：将测度扩展到更复杂的集合——外测度

现在，我们想测量任意一个点集 \(E \subset \mathbb{R}\) 的“大小”。昂利·勒贝格的想法非常巧妙：用一个可数个开区间的集合从外面去覆盖这个点集，然后计算这些区间长度之和的下确界（即最大的下界）。

形式上，集合 \(E\) 的勒贝格外测度 \(m^*(E)\) 定义为：

\[m^*(E) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} \ell(I_k) : E \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k \right\} \]

其中，每个 \(I_k\) 都是一个开区间，\(\ell(I_k)\) 是其长度。下确界取遍所有可能的可数开区间覆盖。

外测度具有一些良好性质：

  1. 非负性：对任何集合 \(E\)，有 \(m^*(E) \geq 0\)。
  2. 单调性：如果 \(A \subset B\)，那么 \(m^*(A) \leq m^*(B)\)。
  3. 次可数可加性：对于一列集合 \(\{E_k\}_{k=1}^{\infty}\)，有 \(m^*\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} m^*(E_k)\)。

然而，外测度有一个关键缺陷：它不满足可数可加性。也就是说，如果有一列互不相交的集合 \(\{E_k\}\)，我们不一定有 \(m^*\left( \bigcup E_k \right) = \sum m^*(E_k)\)。这意味着外测度还不是一个理想的“测度”。

第三步：定义可测集——卡拉泰奥多里条件

为了解决可加性问题，我们需要筛选出那些“表现良好”的集合。康斯坦丁·卡拉泰奥多里给出了一个精妙的准则：一个集合 \(E\) 被称为勒贝格可测的，如果对于实数轴上的任意测试集 \(A\)，都有以下等式成立：

\[m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c) \]

其中 \(E^c\) 是 \(E\) 的补集。

这个条件的直观解释是：集合 \(E\) 的边界是如此“规整”，以至于它能够将任何测试集 \(A\) 清晰地“切”成位于 \(E\) 内部和外部两部分，并且这两部分的“外尺寸”之和恰好等于整个 \(A\) 的“外尺寸”。所有满足该条件的集合 \(E\) 构成的集族记为 \(\mathcal{L}\)。

对于一个可测集 \(E\)，我们将其勒贝格外测度 \(m^*(E)\) 直接定义为它的勒贝格测度，记为 \(m(E)\)。

第四步：可测集与勒贝格测度的性质

勒贝格可测集族 \(\mathcal{L}\) 构成了一个 σ-代数。这意味着：

  • 整个空间 \(\mathbb{R}\) 是可测的。
  • 如果 \(E\) 可测，那么它的补集 \(E^c\) 也可测。
  • 如果有一列可测集 \(\{E_k\}\)，那么它们的并集 \(\bigcup E_k\) 和交集 \(\bigcap E_k\) 也都是可测的。

更重要的是，在这个可测集族上，勒贝格测度 \(m\) 具有我们期望的完美可加性：

  • 可数可加性：如果 \(\{E_k\}\) 是一列互不相交的可测集，那么

\[ m\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \right) = \sum_{k=1}^{\infty} m(E_k) \]

几乎所有在分析和几何中常见的集合都是勒贝格可测的，包括：

  • 所有的区间。
  • 所有的开集和闭集。
  • 所有的博雷尔集（由开集通过可数次并、交、补运算生成的集合）。

第五步：勒贝格测度的意义与存在不可测集

勒贝格测度是区间长度概念的自然且强大的扩展。它为我们建立勒贝格积分奠定了坚实的基础，因为积分本质上就是一种“测量函数曲线下方图形面积”的操作。与黎曼积分相比，勒贝格积分能对更广泛的函数进行积分，并且在极限交换问题上表现优异（如勒贝格控制收敛定理）。

然而，一个至关重要的结论是：并非所有集合都是勒贝格可测的。利用选择公理，可以构造出所谓的“不可测集”（如维塔利集）。对于这样的集合，我们无法为其赋予一个与平移不变性、可数可加性等直观性质相容的“长度”。这说明了勒贝格测度理论的完备性与局限性——它最大限度地扩展了“长度”的概念，但无法（也不应该）将其应用于所有病态集合。

勒贝格测度 我们先从最直观的几何概念——长度、面积、体积——开始。在数学中，我们统称这些概念为“测度”。对于一条直线段，我们可以轻易地定义其长度为端点坐标之差。但是，如果我们面对的是直线上一个复杂的点集（比如所有有理数的集合），它的“长度”应该是多少？勒贝格测度正是为了给直线上的任意子集（在一定的限制条件下）赋予一个“长度”而建立的精密理论，它是现代实分析特别是勒贝格积分理论的基石。 第一步：从区间开始定义测度 最基础的图形是区间。对于实数轴 \(\mathbb{R}\) 上的一个区间 \(I\)（无论开、闭或半开半闭），我们将其测度 \(m(I)\) 定义为其长度。具体来说： 若 \(I = [ a, b ]\)，则 \(m(I) = b - a\)。 这个定义对于 \((a, b), (a, b], [ a, b)\) 同样适用，因为一个端点的有无并不影响区间的“长度”。 这是我们对测度最朴素也是最坚实的出发点。 第二步：将测度扩展到更复杂的集合——外测度 现在，我们想测量任意一个点集 \(E \subset \mathbb{R}\) 的“大小”。昂利·勒贝格的想法非常巧妙：用一个可数个开区间的集合从外面去覆盖这个点集，然后计算这些区间长度之和的下确界（即最大的下界）。 形式上，集合 \(E\) 的 勒贝格外测度 \(m^ (E)\) 定义为： \[ m^ (E) = \inf \left\{ \sum_ {k=1}^{\infty} \ell(I_ k) : E \subset \bigcup_ {k=1}^{\infty} I_ k \right\} \] 其中，每个 \(I_ k\) 都是一个开区间，\(\ell(I_ k)\) 是其长度。下确界取遍所有可能的可数开区间覆盖。 外测度具有一些良好性质： 非负性 ：对任何集合 \(E\)，有 \(m^* (E) \geq 0\)。 单调性 ：如果 \(A \subset B\)，那么 \(m^ (A) \leq m^ (B)\)。 次可数可加性 ：对于一列集合 \(\{E_ k\} {k=1}^{\infty}\)，有 \(m^* \left( \bigcup {k=1}^{\infty} E_ k \right) \leq \sum_ {k=1}^{\infty} m^* (E_ k)\)。 然而，外测度有一个关键缺陷：它不满足可数可加性。也就是说，如果有一列互不相交的集合 \(\{E_ k\}\)，我们不一定有 \(m^ \left( \bigcup E_ k \right) = \sum m^ (E_ k)\)。这意味着外测度还不是一个理想的“测度”。 第三步：定义可测集——卡拉泰奥多里条件 为了解决可加性问题，我们需要筛选出那些“表现良好”的集合。康斯坦丁·卡拉泰奥多里给出了一个精妙的准则：一个集合 \(E\) 被称为 勒贝格可测的 ，如果对于实数轴上的 任意 测试集 \(A\)，都有以下等式成立： \[ m^ (A) = m^ (A \cap E) + m^* (A \cap E^c) \] 其中 \(E^c\) 是 \(E\) 的补集。 这个条件的直观解释是：集合 \(E\) 的边界是如此“规整”，以至于它能够将任何测试集 \(A\) 清晰地“切”成位于 \(E\) 内部和外部两部分，并且这两部分的“外尺寸”之和恰好等于整个 \(A\) 的“外尺寸”。所有满足该条件的集合 \(E\) 构成的集族记为 \(\mathcal{L}\)。 对于一个可测集 \(E\)，我们将其勒贝格外测度 \(m^* (E)\) 直接定义为它的 勒贝格测度 ，记为 \(m(E)\)。 第四步：可测集与勒贝格测度的性质 勒贝格可测集族 \(\mathcal{L}\) 构成了一个 σ-代数 。这意味着： 整个空间 \(\mathbb{R}\) 是可测的。 如果 \(E\) 可测，那么它的补集 \(E^c\) 也可测。 如果有一列可测集 \(\{E_ k\}\)，那么它们的并集 \(\bigcup E_ k\) 和交集 \(\bigcap E_ k\) 也都是可测的。 更重要的是，在这个可测集族上，勒贝格测度 \(m\) 具有我们期望的完美可加性： 可数可加性 ：如果 \(\{E_ k\}\) 是一列互不相交的可测集，那么 \[ m\left( \bigcup_ {k=1}^{\infty} E_ k \right) = \sum_ {k=1}^{\infty} m(E_ k) \] 几乎所有在分析和几何中常见的集合都是勒贝格可测的，包括： 所有的区间。 所有的开集和闭集。 所有的博雷尔集（由开集通过可数次并、交、补运算生成的集合）。 第五步：勒贝格测度的意义与存在不可测集 勒贝格测度是区间长度概念的自然且强大的扩展。它为我们建立勒贝格积分奠定了坚实的基础，因为积分本质上就是一种“测量函数曲线下方图形面积”的操作。与黎曼积分相比，勒贝格积分能对更广泛的函数进行积分，并且在极限交换问题上表现优异（如勒贝格控制收敛定理）。 然而，一个至关重要的结论是： 并非所有集合都是勒贝格可测的 。利用选择公理，可以构造出所谓的“不可测集”（如维塔利集）。对于这样的集合，我们无法为其赋予一个与平移不变性、可数可加性等直观性质相容的“长度”。这说明了勒贝格测度理论的完备性与局限性——它最大限度地扩展了“长度”的概念，但无法（也不应该）将其应用于所有病态集合。