量子力学中的KMS条件

字数 2371 2025-11-03 00:19:42

量子力学中的KMS条件

我们先从统计力学的基础概念开始。在热平衡状态下，一个物理系统的状态由吉布斯态描述。对于一个系统，其哈密顿量为 \(H\)，在温度为 \(T\) 时的热平衡态由密度矩阵 \(\rho = e^{-\beta H} / \text{Tr}(e^{-\beta H})\) 给出，其中 \(\beta = 1/(k_B T)\) 是逆温度，\(k_B\) 是玻尔兹曼常数。在这个态下，一个可观测量 \(A\) 的期望值为 \(\phi(A) = \text{Tr}(\rho A)\)。

现在，我们考虑时间演化。在海森堡绘景中，算符随时间演化：\(A(t) = e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar}\)。在热平衡态中，系统是稳定的，这意味着态 \(\phi\) 是时间不变的：\(\phi(A(t)) = \phi(A)\)。更重要的是，系统满足细致平衡条件。这意味着，在热平衡态中，两点关联函数 \(\phi(A(t)B)\) 和 \(\phi(BA(t))\) 之间存在着一种深刻的关系。

为了揭示这种关系，我们考虑一个有限维系统的例子。计算 \(\phi(A(t)B)\) 和 \(\phi(BA(t+i\hbar\beta))\)：

\[\phi(A(t)B) = \text{Tr}(e^{-\beta H} e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar} B) / Z \]

\[ \phi(BA(t+i\hbar\beta)) = \text{Tr}(e^{-\beta H} B e^{iH(t+i\hbar\beta)/\hbar} A e^{-iH(t+i\hbar\beta)/\hbar}) / Z = \text{Tr}(e^{-\beta H} B e^{iHt/\hbar} e^{-\beta H} A e^{-iHt/\hbar} e^{\beta H}) / Z \]

利用算符在迹内的循环性 \(\text{Tr}(XY) = \text{Tr}(YX)\)，我们可以将 \(\phi(BA(t+i\hbar\beta))\) 重新排列为 \(\text{Tr}(e^{-\beta H} e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar} B) / Z\)，这与 \(\phi(A(t)B)\) 相等。因此，我们得到恒等式：

\[\phi(A(t)B) = \phi(BA(t+i\hbar\beta)) \]

这个关系表明，在实时间关联函数 \(\phi(A(t)B)\) 和 \(\phi(BA(t))\) 之间，通过一个虚时间的平移 \(i\hbar\beta\) 联系起来。这就是KMS条件在最简单情况下的表现形式。

然而，实际的量子系统（如量子场论或无限体积系统）通常是无限维的。此时，吉布斯态的定义可能不再适用，但系统仍可能处于热平衡态。Kubo、Martin和Schwinger提出，热平衡态的特征可以由其对算符代数的期望值泛函 \(\phi\) 所满足的一个数学条件来刻画，即KMS条件。

在C*代数或冯·诺依曼代数的框架下，设 \(\alpha_t\) 是描述时间演化的单参数自同构群（即 \(\alpha_t(A) = e^{iHt} A e^{-iHt}\)）。一个态 \(\phi\) 称为关于 \(\alpha_t\) 满足 \((\beta-)\)KMS条件，如果对于代数中的任意一对元素 \(A, B\)，存在一个函数 \(F_{AB}(z)\)，它在带形区域 \(0 < \text{Im}(z) < \beta\)（或 \(-\beta < \text{Im}(z) < 0\)，取决于约定）内是全纯的，在闭区域上连续，并且满足边界条件：

\[F_{AB}(t) = \phi(A \alpha_t(B)), \quad F_{AB}(t+i\beta) = \phi(\alpha_t(B) A) \]

对于所有实时间 \(t\) 成立。

这个条件比简单的等式 \(\phi(A(t)B) = \phi(BA(t+i\beta))\) 要求更强，因为它要求存在一个在中间虚时间值上也定义良好的解析函数。这个解析性反映了热平衡态的热涨落和量子涨落之间存在某种平衡，使得关联函数在复时间平面上具有“最大解析延拓”的性质。

KMS条件有几个关键的内涵和推论。首先，它意味着态 \(\phi\) 是 \(\alpha_t\)-不变的，即 \(\phi(\alpha_t(A)) = \phi(A)\)。其次，它蕴含着运动方程在期望值意义下成立。最重要的是，在许多物理相关的系统中，KMS条件实际上是热平衡态的特征性质：一个态是 \((\alpha_t, \beta)\) -KMS态，当且仅当它是温度为 \(1/\beta\) 的热平衡态。

KMS条件在多个物理领域有深远应用。在量子统计力学中，它是研究相变和对称性自发破缺的有力工具，因为KMS态可以有不只一个（例如，对应于不同的磁化相）。在代数量子场论中，它被用来定义粒子的热状态。特别引人入胜的是，Unruh效应和Hawking辐射的推导都与此密切相关。一个在时空中做匀加速运动的观察者会感受到一个热浴，其对应的“Rindler真空态”对于他自身的时间演化来说，正是一个KMS态。这表明，温度与时间演化有着本质的联系，而KMS条件正是刻画这种联系的精确数学语言。

量子力学中的KMS条件我们先从统计力学的基础概念开始。在热平衡状态下，一个物理系统的状态由吉布斯态描述。对于一个系统，其哈密顿量为 \( H \)，在温度为 \( T \) 时的热平衡态由密度矩阵 \( \rho = e^{-\beta H} / \text{Tr}(e^{-\beta H}) \) 给出，其中 \( \beta = 1/(k_ B T) \) 是逆温度，\( k_ B \) 是玻尔兹曼常数。在这个态下，一个可观测量 \( A \) 的期望值为 \( \phi(A) = \text{Tr}(\rho A) \)。现在，我们考虑时间演化。在海森堡绘景中，算符随时间演化：\( A(t) = e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar} \)。在热平衡态中，系统是稳定的，这意味着态 \( \phi \) 是时间不变的：\( \phi(A(t)) = \phi(A) \)。更重要的是，系统满足细致平衡条件。这意味着，在热平衡态中，两点关联函数 \( \phi(A(t)B) \) 和 \( \phi(BA(t)) \) 之间存在着一种深刻的关系。为了揭示这种关系，我们考虑一个有限维系统的例子。计算 \( \phi(A(t)B) \) 和 \( \phi(BA(t+i\hbar\beta)) \)： \[ \phi(A(t)B) = \text{Tr}(e^{-\beta H} e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar} B) / Z \] \[ \phi(BA(t+i\hbar\beta)) = \text{Tr}(e^{-\beta H} B e^{iH(t+i\hbar\beta)/\hbar} A e^{-iH(t+i\hbar\beta)/\hbar}) / Z = \text{Tr}(e^{-\beta H} B e^{iHt/\hbar} e^{-\beta H} A e^{-iHt/\hbar} e^{\beta H}) / Z \] 利用算符在迹内的循环性 \( \text{Tr}(XY) = \text{Tr}(YX) \)，我们可以将 \( \phi(BA(t+i\hbar\beta)) \) 重新排列为 \( \text{Tr}(e^{-\beta H} e^{iHt/\hbar} A e^{-iHt/\hbar} B) / Z \)，这与 \( \phi(A(t)B) \) 相等。因此，我们得到恒等式： \[ \phi(A(t)B) = \phi(BA(t+i\hbar\beta)) \] 这个关系表明，在实时间关联函数 \( \phi(A(t)B) \) 和 \( \phi(BA(t)) \) 之间，通过一个虚时间的平移 \( i\hbar\beta \) 联系起来。这就是KMS条件在最简单情况下的表现形式。然而，实际的量子系统（如量子场论或无限体积系统）通常是无限维的。此时，吉布斯态的定义可能不再适用，但系统仍可能处于热平衡态。Kubo、Martin和Schwinger提出，热平衡态的特征可以由其对算符代数的期望值泛函 \( \phi \) 所满足的一个数学条件来刻画，即KMS条件。在C* 代数或冯·诺依曼代数的框架下，设 \( \alpha_ t \) 是描述时间演化的单参数自同构群（即 \( \alpha_ t(A) = e^{iHt} A e^{-iHt} \)）。一个态 \( \phi \) 称为关于 \( \alpha_ t \) 满足 \( (\beta-) \)KMS条件，如果对于代数中的任意一对元素 \( A, B \)，存在一个函数 \( F_ {AB}(z) \)，它在带形区域 \( 0 < \text{Im}(z) < \beta \)（或 \( -\beta < \text{Im}(z) < 0 \)，取决于约定）内是全纯的，在闭区域上连续，并且满足边界条件： \[ F_ {AB}(t) = \phi(A \alpha_ t(B)), \quad F_ {AB}(t+i\beta) = \phi(\alpha_ t(B) A) \] 对于所有实时间 \( t \) 成立。这个条件比简单的等式 \( \phi(A(t)B) = \phi(BA(t+i\beta)) \) 要求更强，因为它要求存在一个在中间虚时间值上也定义良好的解析函数。这个解析性反映了热平衡态的热涨落和量子涨落之间存在某种平衡，使得关联函数在复时间平面上具有“最大解析延拓”的性质。 KMS条件有几个关键的内涵和推论。首先，它意味着态 \( \phi \) 是 \( \alpha_ t \)-不变的，即 \( \phi(\alpha_ t(A)) = \phi(A) \)。其次，它蕴含着运动方程在期望值意义下成立。最重要的是，在许多物理相关的系统中，KMS条件实际上是热平衡态的特征性质：一个态是 \( (\alpha_ t, \beta) \) -KMS态，当且仅当它是温度为 \( 1/\beta \) 的热平衡态。 KMS条件在多个物理领域有深远应用。在量子统计力学中，它是研究相变和对称性自发破缺的有力工具，因为KMS态可以有不只一个（例如，对应于不同的磁化相）。在代数量子场论中，它被用来定义粒子的热状态。特别引人入胜的是，Unruh效应和Hawking辐射的推导都与此密切相关。一个在时空中做匀加速运动的观察者会感受到一个热浴，其对应的“Rindler真空态”对于他自身的时间演化来说，正是一个KMS态。这表明，温度与时间演化有着本质的联系，而KMS条件正是刻画这种联系的精确数学语言。